17 октября 2025 Олимпиада по математике 7, 8, 9, 10, 11 класс Сириус ответы и задания школьного этапа
Решили все задания для 7, 8, 9, 10, 11 класса Сириус онлайн олимпиада по математике правильные ответы для школьного этапа 2025-2026 учебный год всероссийской олимпиады школьников ВСОШ 3 группа регионов и Москва дата проведения 17 октября 2025 начало олимпиады в 08:00 утра.
Олимпиада по математике 7 класс школьный этап 2025
1. У белочек Альфы, Беты и Гаммы было поровну орехов. Бета съела несколько орехов из своего запаса, а Альфа подарила Гамме на день рождения 60 орехов. После этого у стало вдвое больше орехов, чем у Альфы, а у Гаммы — вдвое больше, чем у Беты. Сколько Беты орехов съела Бета?
Ответ: Бета съела 20 орехов.
1.2. У поросят Ниф-Нифа, Нуф-Нуфа и Наф-Нафа было поровну желудей. Нуф-Нуф съел несколько желудей из своего запаса, а Ниф-Ниф подарил Наф-Нафу за спасение своей жизни 45 желудей. После этого у Нуф-Нуфа стало вдвое больше желудей, чем у Ниф-Нифа, а у Наф-Нафа — вдвое больше, чем у Нуф-Нуфа. Сколько желудей съел Нуф-Нуф?
Ответ: Нуф-Нуф съел 15 желудей
1.3. У зайчиков Айба, Бена и Гима было поровну морковок. Бен съел несколько морковок из своего запаса, а Айб подарил Гиму на день рождения 30 морковок. После этого у Бена стало вдвое больше морковок, чем у Айба, а у Гима — вдвое больше, чем у Бена. Сколько Морковок съел Бен?
Ответ: Бен съел 10 морковок
1.4. У богатырей Ильи, Добрыни и Алёши было поровну золотых монет. Добрыня потратил несколько монет из своего запаса на покупку седла, а Алёша подарил Илье на день рождения 75 монет. После этого у Добрыни стало вдвое больше монет, чем у Алёши, а у Ильи — вдвое больше, чем у Добрыни. Сколько монет потратил Добрыня?
Ответ: Добрыня потратил 25 монет
2. Расположите углы, нарисованные на клетчатой бумаге, в порядке увеличения их численных значений.
Ответ: d, c, b, a.
3. Андрей выписал на доску все числа от 1 до 999. Затем вычеркнул все числа, не содержащие 4 в своей записи. Дальше вычеркнул все числа, содержащие в записи две или три четвёрки. А потом ещё вычеркнул все числа, не дающие остатка 4 при делении на 9. Сколько чисел у него осталось?
Ответ: 12
3.2. Дима выписал на доску все числа от 1 до 999. Затем вычеркнул все числа, не содержащие 7 в своей записи. Дальше вычеркнул все числа, содержащие в записи две или три семёрки. А потом ещё вычеркнул все числа, не дающие остатка 6 при делении на 9. Сколько чисел у него осталось?
Ответ: 24
3.3. Лена выписала на доску все числа от 1 до 999. Затем вычеркнула все числа, не содержащие 2 в своей записи. Дальше вычеркнула все числа, содержащие в записи две или три двойки. А потом ещё вычеркнул все числа, не дающие остатка 6 при делении на 9. Сколько чисел у неё осталось?
Ответ: 24
3.4. Ира выписала на доску все числа от 1 до 999. Затем вычеркнула все числа, не содержащие 5 в своей записи. Дальше вычеркнула все числа, содержащие в записи две или три пятёрки. А потом ещё вычеркнула все числа, не дающие остатка 7 при делении на 9. Сколько чисел у неё осталось?
Ответ: 29
4. Пятьдесят жевунов стоят в кругу. На каждого жевуна надели очки — красные или зелёные, но никому не сказали, какие очки на ком надеты. Зелёные очки передают цвета правильно, а вот жевуну в красных очках зелёный цвет кажется красным, и наоборот. На вопрос «Верно ли, что ваш сосед справа в красных очках?» утвердительно ответили 10 жевунов. А сколько жевунов утвердительно ответят на вопрос «Верно ли, что два ваших ближайших соседа слева в очках одного цвета?»
Ответ: 33
4.2. Шестьдесят мигунов стоят в кругу. На каждого мигуна надели очки — красные или зелёные, но никому не сказали, какие очки на ком надеты. Зелёные очки передают цвета правильно, а вот мигуну в красных очках зелёный цвет кажется красным, и наоборот. На вопрос «Верно ли, что ваш сосед справа в красных очках?» утвердительно ответили 20 мигунов. А сколько мигунов утвердительно ответят на вопрос «Верно ли, что два ваших ближайших соседа слева в очках одного цвета?»
Ответ: 40
4.3. Пятьдесят хоббитов стоят в кругу. На каждого хоббита надели очки — красные или зелёные, но никому не сказали, какие очки на ком надеты. Зелёные очки передают цвета правильно, а вот хоббиту в красных очках зелёный цвет кажется красным, и наоборот. На вопрос «Верно ли, что ваш сосед справа в красных очках?» утвердительно ответили 20 хоббитов. А сколько хоббитов утвердительно ответят на вопрос «Верно ли, что два ваших ближайших соседа слева в очках одного цвета?»
Ответ: 30
4.4. Сорок человек стоят в кругу. На каждого надели очки — розовые или зелёные, но никому не сказали, какие очки на ком надеты. Зелёные очки передают цвета правильно, а вот человеку в розовых очках зелёный цвет кажется розовым, и наоборот. На вопрос «Верно ли, что ваш сосед справа в розовых очках?» утвердительно ответили 10 человек. А сколько человек утвердительно ответят на вопрос «Верно ли, что два ваших ближайших соседа слева в очках одного цвета?»
Ответ: 30
5. Саша придумал новую единицу длины — сар. Однажды Саша построил прямоугольник и измерил его периметр (в сарах) и площадь (в квадратных сарах). Оказалось, что периметр на 80% больше площади. Если же периметр измерить в метрах, а площадь — в квадратных метрах, то периметр Сашиного прямоугольника будет составлять 120% от площади. Сколько метров в саре?
Ответ: 1.5 м
5.2. Миша придумал новую единицу длины миш. Однажды Миша построил прямоугольник и измерил его периметр (в мишах) и площадь (в квадратных мишах). Оказалось, что периметр на 50% больше площади. Если же периметр измерить в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах, то периметр Мишиного прямоугольника будет составлять 60% от площади. Сколько сантиметров в мише?
Ответ: 2.5 см
5.3. Вася придумал новую единицу длины — икс. Однажды Ваня построил прямоугольник и измерил его периметр (в иксах) и площадь (в квадратных иксах). Оказалось, что периметр на 25% больше площади. Если же периметр измерить в метрах, а площадь в квадратных метрах, то площадь Васиного прямоугольника будет на 60% больше периметра. Сколько метров в иксе?
Ответ: 2 м
5.4. Ваня придумал новую единицу длины — микс. Однажды Ваня построил прямоугольник и измерил его периметр (в миксах) и площадь (в квадратных миксах). Оказалось, что периметр на 20% больше площади. Если же периметр измерить в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах, то периметр Ваниного прямоугольника будет составлять 80% от площади. Сколько сантиметров в миксе?
Ответ: 1.5 сантиметров
6. Миша и его борзая Убегай вышли на прогулку. Миша едет на велосипеде со скоростью 15 км/ч по прямой дороге, удаляясь от дома. Когда Миша отъехал на 200 метров от дома, спустил убегая с поводка и пёс помчался к дому со скоростью 30 км/ч. Прибежав к дому, Убегай тут же развернулся и побежал догонять Мишу, который по-прежнему ехал от дома своей скоростью. Догнав Мишу, Убегай снова побежал к дому, а затем — снова к Мише т. д. На каком расстоянии от дома окажется Миша, когда Убегай сделает четыре пробежки до дома и обратно? Ответ выразите в метрах.
6.2. Антон и его лабрадор Шарик вышли на прогулку. Антон идёт со скоростью 4 км/ч по прямой дороге, удаляясь от дома. Когда Антон отошёл на 150 метров от дома, он спустил Шарика с поводка и пёс помчался к дому со скоростью 8 км/ч. Прибежав к дому, Шарик тут же развернулся и побежал догонять Антона, который по-прежнему шёл от дома со своей скоростью. Догнав Антона, Шарик снова побежал к дому, а затем — снова к Антону и т. д. На каком расстоянии от дома окажется Антон, когда Шарик сделает пять пробежек до дома и обратно? Ответ выразите в метрах.
6.3. Леонид и его бульдог Закусай вышли на прогулку. Леонид идёт со скоростью 5 км/ч по прямой дороге, удаляясь от дома. Когда Леонид отошёл на сто метров от дома, он спустил Закусая с поводка и пёс помчался к дому со скоростью 10 км/ч. Прибежав к дому, Закусай тут же развернулся и побежал догонять Леонида, который по-прежнему шёл от дома со своей скоростью. Догнав Леонида, Закусай снова побежал к дому, а затем — снова к Леониду и т. д. На каком расстоянии от дома окажется Леонид, когда Закусай сделает пять пробежек до дома и обратно? Ответ выразите в метрах.
6.4. Рада и её собака Ася вышли на прогулку. Рада идёт со скоростью 6 км/ч по прямой дороге, удаляясь от дома. Когда Рада отошла на сто метров от дома, она спустила Асю с поводка и собака помчалась к дому со скоростью 12 км/ч. Прибежав к дому, Ася тут же развернулась и побежала догонять Раду, которая по-прежнему шла от дома со своей скоростью. Догнав Раду, Ася снова побежала к дому, а затем — снова к Раде и т. д. На каком расстоянии от дома окажется Рада, когда Ася сделает четыре пробежки до дома и обратно? Ответ выразите в метрах.
7. В литературном форуме участвовали петербуржцы и москвичи. Участники форума сели круг, и каждый поздоровался с двумя ближайшими соседями. Оказалось, что: 20 участников поздоровались и с поэтом, и с прозаиком; 15 участников поздоровались с двумя прозаиками; у 14 участников один сосед из Москвы, а другой — из Петербурга; у 13 участников оба соседа из Петербурга. Никто не является поэтом и прозаиком одновременно. Найдите модуль разности количества поэтов и участников из Москвы.
7.2. В литературном форуме участвовали петербуржцы и москвичи. Участники форума сели в круг, и каждый поздоровался с двумя ближайшими соседями. Оказалось, что 16 участников поздоровались и с поэтом, и с прозаиком; 15 участников поздоровались с двумя прозаиками; у 18 участников один сосед из Москвы, а другой — из Петербурга; у б участников оба соседа из Петербурга. Никто не является поэтом и прозаиком одновременно. Найдите модуль разности количества поэтов и участников из Москвы.
7.3. В литературном форуме участвовали петербуржцы и москвичи. Участники форума сели в круг, и каждый поздоровался с двумя ближайшими соседями. Оказалось, что 26 участников поздоровались и с поэтом, и с прозаиком; 11 участников поздоровались с двумя прозаиками; у 16 участников один сосед из Москвы, а другой — из Петербурга; у 11 участников оба соседа из Петербурга. Никто не является поэтом и прозаиком одновременно. Найдите модуль разности количества поэтов и участников из Москвы.
7.4. В литературном форуме участвовали петербуржцы и москвичи. Участники форума сели в круг, и каждый поздоровался с двумя ближайшими соседями. Оказалось, что: 30 участников поздоровались и с поэтом, и с прозаиком; 25 участников поздоровались с двумя прозаиками; у 16 участников один сосед из Москвы, а другой — из Петербурга; у 12 участников оба соседа из Петербурга. Никто не является поэтом и прозаиком одновременно. Найдите модуль разности количества поэтов и участников из Москвы.
8. Дан квадрат 11 х 11. Катя отмечает по одной клетке. Каждый раз, когда Катя отмечает клетку, она записывает, сколько клеток, соседних по стороне с отмечаемой, было отмечено ранее. Оказалось, что из 121 написанного числа одиннадцать — нули и десять — единицы. Какое наибольшее количество четвёрок могло быть написано?
8.2. Дан квадрат 12 х 12. Коля отмечает по одной клетке. Каждый раз, когда Коля отмечает клетку, он записывает, сколько клеток, соседних по стороне с отмечаемой, было отмечено ранее. Оказалось, что из 144 написанных чисел двадцать -нули и десять -единицы. Какое наибольшее количество четверок могло быть написано?
8.3. Дан квадрат 10 х 10. Андрей отмечает по одной клетке. Каждый раз, когда Андрей отмечает клетку, он записывает, сколько клеток, соседних по стороне с отмечаемой, было отмечено ранее. Оказалось, что из 100 написанных чисел десять — нули и десять единицы. Какое наибольшее количество четвёрок могло быть написано?
8.4. Дан квадрат 12 х 12. Андрей отмечает по одной клетке. Каждый раз, когда Андрей отмечает клетку, он записывает, сколько клеток, соседних по стороне с отмечаемой, было отмечено ранее. Оказалось, что из 144 написанных чисел четырнадцать — нули и десять — единицы. Какое наибольшее количество четвёрок могло быть написано?
Олимпиада по математике 8 класс школьный этап 2025
1. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовем почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму — понечётным. Найдите количество цифр наибольшего понечётного числа с суммой цифр 2026.
Ответ: 4052
1.2. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовем почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму — понечётным. Найдите количество цифр наибольшего понечётного числа с суммой цифр 2040.
Ответ: 4080
1.3. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовем почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму- понечётным. Найдите количество цифр наибольшего понечётного числа с суммой цифр 2015.
Ответ: 4030
1.4. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовем почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму — понечётным. Найдите количество цифр наибольшего понечётного числа с суммой цифр 2025.
Ответ: 4050
2. Сумма чисел на противоположных гранях игральной кости (кубика) равна 7. Игральная кость последовательно перекатывается по указанной на рисунке траектории. После перекатывания кубик оказался в следующем положении:
Какая цифра окажется на верхней грани кубика, когда он переместится позицию?
Ответ: 4
2.2. Сумма чисел на противоположных гранях игральной кости (кубика) равна 7. Игральная кость последовательно перекатывается по указанной на рисунке траектории. После перекатывания кубик оказался в следующем положении. Какая цифра окажется на верхней грани кубика, когда он переместится в финишную позицию?
Ответ: 3
3. Различные положительные числа а и в связаны соотношением a² — ab +b²/a2 + ab + 46=3/4. Во сколько раз число а больше числа b?
Ответ: 8
Ответ: 4
Ответ: 2
4. В комнате по кругу стоят 27 стульев. Организаторы квеста прикрепили одинаковые секретные записки на какие-то два из них, не стоящие рядом. Сколькими способами они могли это сделать?
Ответ: 324
4.2. В комнате по кругу стоят 24 стула. Организаторы квеста прикрепили одинаковые секретные записки на какие-то два из них, не стоящие рядом. Сколькими способами они могли это сделать?
Ответ: 252
4.3. В комнате по кругу стоят 25 стульев. Организаторы квеста прикрепили одинаковые секретные записки на какие-то два из них, не стоящие рядом. Сколькими способами они могли это сделать?
Ответ: 275
4.4. В комнате по кругу стоят 28 стульев. Организаторы квеста прикрепили одинаковые секретные записки на какие-то два из них, не стоящие рядом. Сколькими способами они могли это сделать?
Ответ: 350
5. В равнобедренном треугольнике один угол в два раза больше другого. Чему может быть равен угол между биссектрисами треугольника, исходящими из вершин углов при основании? Выберите все подходящие варианты:
18°
36°
45°
54°
60°
72°
90°
Ответ: 45, 72
5.2. В равнобедренном треугольнике один угол в два раза больше другого. Чему может быть равен угол между биссектрисами треугольника, исходящими из вершин его неравных углов? Выберите все подходящие варианты.
Ответ: 45
5.3. В равнобедренном треугольнике один угол в четыре раза больше другого. Чему может быть равен угол между биссектрисами треугольника, исходящими из вершин его неравных углов? Выберите все подходящие варианты.
Ответ: 30, 80
5.4. В равнобедренном треугольнике один угол в четыре раза больше другого. Чему может быть равен угол между биссектрисами треугольника, исходящими из вершин углов при основании?
Ответ: 30, 80
6. Между посёлками Айтово и Байтово курсируют автобусы, путь в одну сторону занимает 2 часа. Из Айтово автобусы отправляются в 8:00, 8:30, 9:00 и далее каждые полчаса до 20:00, а из Байтово — в 8:10, 8:40 и также далее каждые полчаса до 20:10. Сколько встречных автобусов увидит пассажир, выехавший на автобусе из Айтово в Байтово в 9:00?
Ответ: 6
6.2. Между посёлками Айтово и Байтово курсируют автобусы, путь в одну сторону занимает 3 часа. Из Айтово автобусы отправляются в 8:00, 8:40, 9:20 и далее каждые каждые сорок минут до 20:00, а из Байтово -в 7:50, 8:30 и далее каждые сорок минут до 19:50. Сколько встречных автобусов увидит пассажир, выехавший на автобусе из Айтово в Байтово в 9:20?
Ответ: 7
6.3. Между посёлками Айтово и Байтово курсируют автобусы, путь в одну сторону занимает 3 часа. Из Айтово автобусы отправляются в 8:00, 8:40, 9:20 и далее каждые сорок минут до 20:00, а из Байтово — в 7:50, 8:30 и далее каждые сорок минут до 19:50. Сколько встречных автобусов увидит пассажир, выехавший на автобусе из Айтово в Байтово В 10:00?
Ответ: 8
6.4. Между посёлками Айтово и Байтово курсируют автобусы, путь в одну сторону занимает 2 часа. Из Айтово автобусы отправляются в 8:00, 8:30, 9:00 и далее каждые полчаса до 20:00, а из Байтово — в 8:10, 8:40 и также далее каждые полчаса до 20:10. Сколько встречных автобусов увидит пассажир, выехавший на автобусе из Айтово в Байтово в 8:30?
Ответ: 5
7. В городе Идеальном 42 квартала: они расположены в виде прямоугольника 7 x 6. Торговая сеть «У дома» хочет открыть в некоторых кварталах магазины, при этом в каждом квартале может быть только один магазин, а в соседних (имеющих общую сторону) кварталах магазинов одновременно быть не должно. При этом в любом районе из девяти кварталов, образующих квадрат 3 х 3, должно быть хотя бы два магазина. Какое наименьшее и какое наибольшее количество магазинов может быть открыто этой сетью в Идеальном?
7.2. В городе Идеальном 63 квартала: они расположены в виде прямоугольника 7 х 9. Торговая сеть «У дома» хочет открыть в некоторых кварталах магазины, при этом в каждом квартале может быть только один магазин, а в соседних (имеющих общую сторону) кварталах магазинов одновременно быть не должно. При этом в любом районе из девяти кварталов, образующих квадрат 3 х 3, должно быть хотя бы два магазина. Какое наименьшее и какое наибольшее количество магазинов может быть открыто этой сетью в Идеальном?
7.3. В городе Идеальном 49 кварталов: они расположены квадратом 7 х 7. Торговая сеть «У дома» хочет открыть в некоторых кварталах магазины, при этом в каждом квартале может быть только один магазин, а в соседних (имеющих общую сторону) кварталах магазинов одновременно быть не должно. При этом в любом районе из девяти кварталов, образующих квадрат 3 х 3, должно быть хотя бы два магазина. Какое наименьшее и какое наибольшее количество магазинов может быть открыто этой сетью в Идеальном?
7.4. В городе Идеальном 81 квартал: они расположены квадратом 9 х 9. Торговая сеть «У дома» хочет открыть в некоторых кварталах магазины, при этом в каждом квартале может быть только один магазин, а в соседних (имеющих общую сторону) кварталах магазинов одновременно быть не должно. При этом в любом районе из шестнадцати кварталов, образующих квадрат 4 х 4, должно быть хотя бы два магазина. Какое наименьшее и какое наибольшее количество магазинов может быть открыто этой сетью в Идеальном?
8. В буфете продаются только булочки по 19 рублей и пирожки по 24 рубля. Выручка буфета за день составила 1750 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых? Выберите все подходящие варианты.
8.2. В буфете продаются только булочки по 14 рублей и пирожки по 19 рублей. Выручка буфета за день составила 1200 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых? Выберите все подходящие варианты.
8.3. В буфете продаются только булочки по 14 рублей и пирожки по 24 рубля. Выручка буфета за день составила 1100 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых? Выберите все подходящие варианты.
8.4. В буфете продаются только булочки по 14 рублей и пирожки по 19 рублей. Выручка буфета за день составила 1000 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых? Выберите все подходящие варианты.
Олимпиада по математике 9 класс школьный этап 2025
1. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, .., начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 6, у Бори обозначен номером 15 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 6, у Пети обозначен номером 15. Сколько всего домов на улице Круглой?
Ответ: 18
1.2. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 5, у Бори обозначен номером 12 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 5, у Пети обозначен номером 12. Сколько всего домов на улице Круглой?
Ответ: 17
1.3. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 6, у Бори обозначен номером 14 и наоборот -дом, который на плане у Бори имеет номер 6, у Пети обозначен номером 14. Сколько всего домов на улице Круглой?
Ответ: 20
1.4. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 5, у Бори обозначен номером 13 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 5, у Пети обозначен номером 13. Сколько всего домов на улице Круглой?
Ответ: 18
2. На основании АС треугольника АВС выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла ВАС, а угол BNA в два раза больше угла ВСА. Найдите длину отрезка ВN, если AB = 4, CB = 6. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
Ответ: 13
2.2 На основании АС треугольника АВС выбрана точка М. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла ВАС, а угол BNA в два раза больше угла ВСА. Найдите длину отрезка ВИ, если AB = 8, СВ 10. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
Ответ: 40
2.3. На основании АС треугольника АВС выбрана точка М. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла ВАС, а угол ВИА в два раза больше угла ВСА. Найдите длину отрезка ВN, если AB = 8, СВ — 12. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
Ответ: 48
2.4. На основании АС треугольника АВС выбрана точка М. Оказалось, что угол ВИС в два раза больше угла ВАС, а угол BNA в два раза больше угла ВСА. Найдите длину отрезка ВN, если АВ 6, СВ-10. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.
Ответ: 36
3. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001001-значного числа 121122111222111122221…111…11222..22.?
Ответ: 500501
3.2. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001004-значного числа 121122111222111122221…111…11222..22…?
Ответ: 334445
3.3. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001003-значного числа 121122111222111122221…111.. 11222. 22…?
Ответ: 334445
3.4. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001002-значного числа 121122111222111122221…111…11222…22…?
Ответ: 334334
4. Сумма двух дробей z\x и y\3 (x, y, z — натуральные числа) равна 7\13 значение может принимать x?
Ответ: 8
Ответ: 4
Ответ: 5
Ответ: 4
5. Уравнение (x2 — ax + b)(x2 — (a + 96)x +b) = 0 имеет 4 корня, являющиеся последовательными степенями двойки (например, 27, 28, 29, 210). На какую наибольшую степень двойки может делиться произведение аb?
Ответ: 19
5.2. Уравнение (x2 — ax +b) (x2 -(a+ 48) +b) = 0 имеет 4 корня, являющиеся последовательными степенями двойки (например, 27, 28, 29, 210). На какую наибольшую степень двойки может делиться произведение аb?
Ответ: 2(13)
5.3. Уравнение (22 -az +6)(22 -(a+ 192) +b) = 0 имеет 4 корня, являющиеся последовательными степенями двойки (например, 27, 28, 29, 210). На какую наибольшую степень двойки может делиться произведение аb?
Ответ: 2(17)
5.4. Уравнение (22 — ax +b) (22 — (a+24) +6) = 0 имеет 4 корня, являющиеся последовательными степенями двойки (например, 27, 28, 29, 210). На какую наибольшую степень двойки может делиться произведение ав?
Ответ: 2(15)
6. Два велосипедиста ехали с постоянными скоростями в течение получаса, и за это время второй велосипедист проехал на 6 км больше, чем первый. Затем они продолжили движение, сохранив свои скорости, и каждый ехал дополнительно столько минут, сколько километров он уже проехал. В итоге второй велосипедист за всё время движения проехал на 10 км больше, чем первый. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ выразите в км/ч.
Ответ: 26
6.2. Два велосипедиста ехали с постоянными скоростями в течение получаса, и за это время второй велосипедист проехал на 6 км больше, чем первый. Затем они продолжили движение, сохранив свои скорости, и каждый ехал дополнительно столько минут, сколько километров он уже проехал. В итоге второй велосипедист за всё время движения проехал на 8 км больше, чем первый. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ выразите в км/ч.
Ответ: 24
6.3. Два велосипедиста ехали с постоянными скоростями в течение получаса, и за это время второй велосипедист проехал на 3 км больше, чем первый. Затем они продолжили движение, сохранив свои скорости, и каждый ехал дополнительно столько минут, сколько километров он уже проехал. В итоге второй велосипедист за всё время движения проехал на 5 км больше, чем первый. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ выразите в км/ч.
Ответ: 18
6.4. Два велосипедиста ехали с постоянными скоростями в течение получаса, и за это время второй велосипедист проехал на 6 км больше, чем первый. Затем они продолжили движение, сохранив свои скорости, и каждый ехал дополнительно столько минут, сколько километров он уже проехал. В итоге второй велосипедист за всё время движения проехал на 9 км больше, чем первый. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ выразите в км/ч.
Ответ: 30
7. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Две прямые, делящие углы между диагоналями AC и BD пополам, пересекают: одна — стороны АВ и CD в точках Ми К, вторая — стороны ВС и DA в точках № и L. Найдите отношение MN: KL, если известно, что ОА : ОВ : 00:0D=2:3:2: 7.
7.2. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Две прямые, делящие углы между диагоналями АС и BD пополам, пересекают: одна — стороны АВ и CD в точках М и К, вторая — стороны ВС и DA в точках № и L. Найдите отношение MN: KL, если известно, что ОА: ОВ:00:00 2:3:2:4.
7.3. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Две прямые, делящие углы между диагоналями AC и BD пополам, пересекают: одна — стороны АВи CD в точках М и К, вторая — стороны ВС и DA в точках № и L. Найдите отношение MN: KL, если известно, что ОАОВ: OC: OD=2:3:2:5.
7.4. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Две прямые, делящие углы между диагоналями АС и BD пополам, пересекают: одна — стороны АВ и CD в точках Ми К, вторая — стороны ВС и DA в точках № и L. Найдите отношение MN: KL, если известно, что ОАОВ: OC: OD=2:3:2:6.
8. Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 х 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 246. Найдите периметр прямоугольника.
8.2. Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 х 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 322. Найдите периметр прямоугольника.
8.3. Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 х 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 186. Найдите периметр прямоугольника.
8.4. Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 х 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 220. Найдите периметр прямоугольника.
Олимпиада по математике 10 класс школьный этап 2025
1. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовем почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму, — понечётным. Найдите наименьшее почётное число с суммой цифр, равной 2014. Сколько цифр в этом числе? Запишите первые две цифры получившегося числа.
Ответ: 2014, 11
1.2. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовём почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму, — понечётным. Найдите наименьшее почётное число с суммой цифр, равной 2001. Сколько цифр в этом числе? Запишите первые две цифры получившегося числа.
Ответ: 2001, 11
1.3. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовем почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму, — понечётным. Найдите наименьшее почётное число с суммой цифр, равной 2028. Сколько цифр в этом числе? Запишите первые две цифры получившегося числа.
Ответ: 2020, 20
2. Две подруги в ходе телефонных бесед обменивались новостями: Катя рассказала Соне две новости, та в ответ — свою, в следующий раз Катя снова рассказала две новости, а Соня — две и всё время Катя рассказывала ровно по две новости, а Соня — на одну больше, чем в предыдущий раз. В ходе очередной беседы настал момент, когда было рассказано ровно 800 новостей. Сколько из них рассказала Соня?
Ответ: 724
2.2. Две подруги в ходе телефонных бесед обменивались новостями: Катя рассказала Соне две новости, та в ответ — свою, в следующий раз Катя снова рассказала две новости, а Соня две и всё время Катя рассказывала ровно по две новости, а Соня — на одну больше, чем в предыдущий раз. В ходе очередной беседы настал момент, когда было рассказано ровно 800 новостей. Сколько из них рассказала Соня?
Ответ: 724
3. Два приятеля отправились на охоту, предполагая всё время двигаться с одной и той же скоростью. Однако, проехав 1/6 расстояния до нужного места, они остановились на смотровой площадке и пробыли там 10 минут. Поехав дальше, приятели увеличили скорость на 30% и надеялись успеть на место даже раньше, чем изначально предполагали. Но, отъехав от смотровой площадки на расстояние, равное 1/10 всего пути, они поняли, что забыли там штатив. Вернувшись обратно, приятели забрали штатив и немедленно снова поехали в нужном направлении. В итоге им удалось приехать на место точно ко времени, запланированному изначально. Сколько всего времени они пробыли в пути от дома до места охоты? Ответ выразите в часах.
Ответ: 13/3 часа
3.2. Два приятеля отправились на охоту, предполагая всё время двигаться с одной и той же скоростью. Однако, проехав 1/3 расстояния до нужного места, они остановились на смотровой площадке и пробыли там 10 минут. Поехав дальше, приятели увеличили скорость на 30% и надеялись успеть на место даже раньше, чем изначально предполагали. Но, отъехав от смотровой площадки на расстояние, равное 1/12 всего пути, они поняли, что забыли там штатив. Вернувшись обратно, приятели забрали штатив и немедленно снова поехали в нужном направлении. В итоге им удалось приехать на место точно ко времени, запланированному изначально. Сколько всего времени они пробыли в пути от дома до места охоты? Ответ выразите в часах.
Ответ: 13/2
4. Дан квадратный трёхчлен х2 — 2bx + с², который имеет два различных корня. После увеличения каждого из этих корней на 2 был получен новый приведённый квадратный трёхчлен. На что заменится с? Выберите все подходящие варианты.
Ответ: c2 + 4b + 4
4.2. Дан квадратный трёхчлен x2 — 2bx + 2, который имеет два различных корня. После увеличения каждого из этих корней на 1 был получен новый приведённый квадратный трёхчлен. На что заменится с? Выберите все подходящие варианты.
Ответ: c2+2b+1
5. Валерий кидает дротик в доску для дартса, имеющую форму правильного шестиугольника ABCDEF. При этом он попадает в любую точку доски с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что дротик окажется в точке, принадлежащей треугольнику АСЕ. Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 1/2
5.2. Валерий кидает дротик в доску для дартса, имеющую форму правильного шестиугольника ABCDEF. При этом он попадает в любую точку доски с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что дротик окажется в точке, принадлежащей треугольнику ADE. Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 1\3
5.3. Валерий кидает дротик в доску для дартса, имеющую форму правильного шестиугольника ABCDEF. При этом он попадает в любую точку доски с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что дротик окажется в точке, принадлежащей треугольнику ACD. Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 1\6
6. Салфетка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20 см. Пусть С — вершина прямого угла. Найдите площадь фигуры, которая получится при складывании этой салфетки по биссектрисе СК. Ответ выразите в квадратных сантиметрах, округлите до целых.
6.2. Салфетка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20 см. Пусть С — вершина прямого угла. Найдите площадь фигуры, которая получится при складывании этой салфетки по биссектрисе СК. Ответ выразите в квадратных сантиметрах, округлите до целых.
6.3. Салфетка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 10 и 24 см. Пусть С — вершина прямого угла. Найдите площадь фигуры, которая получится при складывании этой салфетки по биссектрисе СК. Ответ выразите в квадратных сантиметрах, округлите до целых.
7. В буфете продаются только пирожки с картошкой по 18 рублей и пирожки с капустой по 22 рубля. Выручка буфета за день составила 1500 рублей. Определите минимальное и максимальное возможное количество проданных за день пирожков.
7.2. В буфете продаются только пирожки с картошкой по 16 рублей и пирожки с капустой по 22 рубля. Выручка буфета за день составила 1720 рублей. Определите минимальное и максимальное возможное количество проданных за день пирожков.
7.3. В буфете продаются только пирожки с картошкой по 18 рублей и пирожки с капустой по 22 рубля. Выручка буфета за день составила 1640 рублей. Определите минимальное и максимальное возможное количество проданных за день пирожков.
8. По кругу стоят 240 человек: рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Каждый из этих людей заявил: «Среди окружающих меня четырёх человек — двух с одной и двух с другой стороны — лжецов больше, чем рыцарей». Например, человек, стоящий пятым, так заявляет о соседях на позициях с номерами 3, 4, 6 и 7. Найдите наименьшее и наибольшее возможное число рыцарей.
8.2. По кругу стоят 288 человек: рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Каждый из этих людей заявил: «Среди окружающих меня четырёх человек — двух с одной и двух с другой стороны — лжецов больше, чем рыцарей». Например, человек, стоящий пятым, так заявляет о соседях на позициях с номерами 3, 4, 6 и 7. Найдите наименьшее и наибольшее возможное число рыцарей.
8.3. По кругу стоят 132 человека: рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Каждый из этих людей заявил: «Среди окружающих меня четырёх человек — двух с одной и двух с другой стороны — лжецов больше, чем рыцарей». Например, человек, стоящий пятым, так заявляет о соседях на позициях с номерами 3, 4, 6 и 7. Найдите наименьшее и наибольшее возможное число рыцарей.
Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2025
1. Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 22232425?
Ответ: 222324282
1.2. Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 24252627?
Ответ: 624252627
1.3. Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 29282726?
Ответ: 292827264
2. На доске написаны 73 натуральных числа. Аня и Ваня по очереди стирают с доски числа: сначала Аня стирает 11 чисел, затем Ваня стирает 10 чисел, после этого Аня стирает 9 чисел, за ней Ваня — 8 чисел и так далее. В конце Аня стирает 1 число. Аня хочет, чтобы все 7 оставшихся на доске чисел были чётными. Какое наименьшее количество чётных чисел должно быть изначально написано на доске, чтобы ей гарантированно удалось это сделать?
Ответ: 14
2.2. На доске написаны 96 натуральных чисел. Аня и Ваня по очереди стирают с доски числа: сначала Аня стирает 13 чисел, затем Ваня стирает 12 чисел, после этого Аня стирает 11 чисел, за ней Ваня — 10 чисел и так далее. В конце Аня стирает 1 число. Аня хочет, чтобы все 5 оставшихся на доске чисел были чётными. Какое наименьшее количество чётных чисел должно быть изначально написано на доске, чтобы ей гарантированно удалось это сделать?
Ответ: 59
3. Уравнение (x2 + 16x +b)(x2 + 16x +b+ 50) = 0 имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: -25, -21
3.2. Уравнение (x2 + 13x +b) (x2 + 13x +b — 32) = 0 имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: -12.5
3.3. Уравнение (x2 + 14x +b)(x2 + 14x +b+ 18) = 0 имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
4. Обозначим через Р(1, х2,, аn) сумму чисел, обратных всем возможным произведениям чисел из множества М = {х1, 2, .., } (в произведение может входить И одно число). 1 1 1 1 1 1 1 68 17 Например, Р(3, 4, 6) += + + + + 349 12 18 24 72 72 18 Найдите Р(1, 2, 3, …, 124, 125).
Ответ: 126 — 1/125
Ответ: 426 — 1/425
5. В пространстве даны замкнутая 13-звенная ломаная А1 А2… А13 41, каждое звено которой имеет длину 2, и точка S, такая, что каждый из треугольников SA1 А2, SA A3….,SA12A13, SA13 А1 — невырожденный, имеет целочисленные стороны, а у одного из них есть сторона длины 6. Для каждого из этих треугольников вычислили его периметр. Какое наибольшее значение периметра могло получиться?
Ответ: 26
5.2. В пространстве даны замкнутая 11-звенная ломаная А1 А2… А11 41, каждое звено которой имеет длину 2, и точка S, такая, что каждый из треугольников SA1 А2, SA A3,…,SA 10 A11, SA11 А1 — невырожденный, имеет целочисленные стороны, а у одного из них есть сторона длины 5. Для каждого из этих треугольников вычислили его периметр. Какое наибольшее значение периметра могло получиться?
Ответ: 24
5.3. В пространстве даны замкнутая 15-звенная ломаная А1 А2… А15 А1, каждое звено которой имеет длину 2, и точка S, такая, что каждый из треугольников SA A2, SA A3….,SA 14A15, SA15 A1 — невырожденный, имеет целочисленные стороны, а у одного из них есть сторона длины 7. Для каждого из этих треугольников вычислили его периметр. Какое наибольшее значение периметра могло получиться?
6. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 3 минуты, второй — за 5 минут, третий — за 7 минут. Через полторы минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.
Ответ: 08:07
6.2. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 3 минуты, второй — за 5 минут, третий — за 7 минут. Через две с половиной минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.
Ответ: 08:10
6.3. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 5 минут, второй — за 7 минут, третий — за 9 минут. Через полторы минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.
6.4. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 7 минут, второй — за 9 минут, третий — за 11 минут. Через полторы минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.
7. Даны две параллельные прямые в и с и точка А, не лежащая между ними. Луч, выходящий из точки А перпендикулярно этим прямым, пересекает прямую в в точке Р, а прямую с — в точке Q. Известно, что АР = 6, AQ = 20. Сколькими способами можно выбрать на прямой в точку В, а на прямой с — точку С так, чтобы отрезки ВР и СQ имели целую длину, а угол АС В был прямым?
7.2. Даны две параллельные прямые в и с и точка А, не лежащая между ними. Луч, выходящий из точки А перпендикулярно этим прямым, пересекает прямую в в точке Р, а прямую с — в точке Q. Известно, что АР = 4, AQ = 18. Сколькими способами можно выбрать на прямой в точку В, а на прямой с — точку С так, чтобы отрезки ВР и СQ имели целую длину, а угол АСВ был прямым?
7.3. Даны две параллельные прямые в и с и точка А, не лежащая между ними. Луч, выходящий из точки А перпендикулярно этим прямым, пересекает прямую в в точке Р, а прямую с — в точке Q. Известно, что AP = 16, AQ = 25. Сколькими способами можно выбрать на прямой в точку В, а на прямой с — точку С так, чтобы отрезки ВР и CQ имели целую длину, а угол АСВ был прямым?
8. В клетках доски 32 х 92 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?
8.2. В клетках доски 32 х 92 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?
8.3. В клетках доски 47 х 92 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?
8.4. В клетках доски 47 х 32 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?
17 октября олимпиаду Сириус по математике пишет 3 группа:Астраханская область 50. Курганская область 51. Омская область 52. Оренбургская область 53. Пермский край 54. Республика Башкортостан 55. Самарская область 56. Саратовская область 57. Свердловская область 58. Тюменская область 59. Удмуртская Республика 60. Ульяновская область 61. Ханты-Мансийский автономный округ — Югра 62. Челябинская область 63. Ямало-Ненецкий автономный округ.
Смотрите на сайте
Олимпиада Сириус ВСОШ школьный этап 2025-2026 задания и ответы