30 ноября — 7 декабря 2024 Олимпиада Ломоносов по математике 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс ответы и задания отборочного этапа
Решили все задания для 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса олимпиады по математике ответы для отборочного этапа 2024 всероссийской олимпиады школьников Ломоносов дата проведения 30 ноября — 7 декабря 2024.
Олимпиада по математике 5-6 класс
1. Вася выписал на асфальте произведение 100000 натуральных чисел и обнаружил, что их произведение получилось равным 100000. Найдите наибольшее возможное значение суммы этих чисел. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 199999
2. Вычеркните из числа 100 цифр так, чтобы полученное число было минимально. В ответ запишите сумму цифр полученного числа. Число может начинаться с 0.Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 2932
3. На полу выложили фигуру из кубиков (в которой кубики стыкуются гранями). Вид сверху, вид спереди и вид сбоку на получившуюся фигуру показаны на рисунке. После постройки фигуру склеили и окунули в банку с краской, а затем разделили на отдельные кубики. Какое наибольшее число не закрашенных граней могло получиться? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 27
4. Вокруг фонтана Дружбы народов из одной точки в противоположные стороны вышли мама и папа. Одновременно с ними из этой же точки выехала дочка на самокате и без изменения направления катается на нем по кругу вокруг фонтана до тех пор, пока мама с папой не встретятся. Сколько целых кругов проедет девочка, если ее скорость 0.5 круга в минуту, скорость мамы 1 круг в час и скорость папы 2 круга в час? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартым образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
5. В квартире составителя задач этой олимпиады есть цифровые часы, показывающие время в формате ЧЧ:ММ:CC на трёх экранчиках (один под часы, один под минуты и один под секунды). Часы идут от 00 до 23. Теперь представим, что эти экранчики при сборке перепутали местами — и показания идут так: ММ:СС:ЧЧ. Сколько секунд в сутки такие часы покажут время правильно? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
6. Через переплетение труб и клапанов течёт вода. Система односторонняя, вода течёт в направлении стрелок. Вода со всех входящих в клапан труб объединяется вместе, а при выходе из клапана делится поровну между всеми исходящими из клапана трубами. Какая часть входящего потока выйдет через верхнюю трубу? Ответ при необходимости округлите до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Скачать все ответы для 5-6 класса
Олимпиада по математике 7-8 класс
Задание 1. Найдите произведение всех целых n, при которых n2+2n−120n – простое число. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 10395
Задание 2. Вокруг фонтана Дружбы народов из одной точки в противоположные стороны вышли мама и папа. Одновременно с ними из этой же точки выехала дочка на самокате и без изменения направления катается на нем по кругу вокруг фонтана до тех пор, пока мама с папой не встретятся. Сколько целых кругов проедет девочка, если ее скорость 1 круг в минуту, скорость мамы 0,5 круга в час и скорость папы 1 круг в час? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 40
Задание 3. На полу выложили фигуру из кубиков (в которой кубики стыкуются гранями). Вид сверху, вид спереди и вид сбоку на получившуюся фигуру показаны на рисунке. После постройки фигуру склеили и окунули в банку с краской, а затем разделили на отдельные кубики. Какое наибольшее число незакрашенных граней могло получиться? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 27
Задание 4. В квартире составителя задач этой олимпиады есть цифровые часы, показывающие время в формате ЧЧ:ММ:CC на трёх экранчиках (один под часы, один под минуты и один под секунды). Часы идут от 00 до 23. Теперь представим, что эти экранчики при сборке перепутали местами — и показания идут так: ММ:ЧЧ:CC. Сколько секунд в сутки такие часы покажут время правильно?Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Задание 5. Через переплетение труб и клапанов течёт вода. Система односторонняя, вода течёт в направлении стрелок. Вода со всех входящих в клапан труб объединяется вместе, а при выходе из клапана делится поровну между всеми исходящими из клапана трубами.
Какая часть входящего потока выйдет через верхнюю трубу? Ответ при необходимости округлите до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Задание 6. Найдите все натуральные n<26, при которых любое x>0, удовлетворяющее {9x} {28x}, удовлетворяет также и {30x}={nx}, где {⋅}- дробная часть числа. Дробной частью a называют следующее число: {a}=a−[a], где [a] – целая часть a, то есть наибольшее целое число, которое меньше или равно a.a. Например, {43}=1/3, {0.5}=0.5, {5}=0. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Задание 7. 40 детей играют в снежки. Каждый набрал в руку по снаряду. По команде ребята одновременно кидают снежок в ближайшего к нему ребенка (в одного из ближайших, если несколько детей находится на одинаковом расстоянии от него. Найти наименьшее число детей, в которые попал хотя бы один снежок. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Скачать все ответы для 7-8 класса
Олимпиада по математике 9 класс
Задание 1. Найдите множество значений функции y=√x2−3x+2−x. В ответе укажите число целых yy из области значений, не превосходящих 100.Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 102
Задание 2. Сумма восьми натуральных чисел равна 561. Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель? Ответ дайте в виде действитльного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 51
Задание 3. Через переплетение труб и клапанов течёт вода. Система односторонняя, вода течёт в направлении стрелок. Вода со всех входящих в клапан труб объединяется вместе, а потом делится поровну между всеми исходящими из клапана трубами. Какая часть входящего потока выйдет через верхнюю трубу? Ответ при необходимости округлите до сотых.
Ответ: 0.75
Задание 4. Найдите десятый член последовательности {an}, если для всех n⩾1 выполняется соотношение an+1=3an−2, и при этом a1=6. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Задание 5. Улица имеет форму полосы длины 972 м и ширины 9 м. Вдоль каждого края улицы стоят фонари, каждый из которых освещает круг радиуса 41 м вокруг себя. Какое минимальное число фонарей надо расставить, чтобы улица была полностью освещена? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Задание 6. Сколько корней имеет уравнение [−(x−2)2]=2x−4, где через [t] обозначена целая часть числа t (т.е. наибольшее целое число, не превосходящее t)?
Задание 7. Дана окружность с центром O и радиусом 32√3. Проведена хорда AB, которая оказалась гипотенузой прямоугольного треугольника ABC. Диаметр окружности, проходящий через вершину C делится на четыре равных отрезка вершиной C треугольника, центром O окружности и точкой пересечения диаметра с хордой AB. Найдите расстояние от центра окружности до хорды AB.
Задание 8. 60 детей играют в снежки. Каждый набрал в руку по снаряду. По команде ребята одновременно кидают снежок в ближайшего к нему ребенка (в одного из ближайших, если несколько детей находится на одинаковом расстоянии от него. Найти наименьшее число детей, в которые попал хотя бы один снежок.
Скачать все ответы для 9 класса
Олимпиада по математике 10 класс
Задание 1. Сколько существует целых чисел N, при которых 160000⋅(1.25N+1.25N+1) – целое число? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 8
Задание 2. Улица имеет форму полосы длины 320 м и ширины 8 м. Вдоль каждого края улицы стоят фонари, каждый из которых освещает круг радиуса 17 м вокруг себя. Какое минимальное число фонарей надо расставить, чтобы улица была полностью освещена? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 11
Задание 3. Найти все значения параметра aa, при каждом из которых неравенство выполняется для любых пар чисел (x,y), таких что |x|=|y|. В ответ записать сумму возможных значений параметра aa, если их конечное число, или сумму длин интервалов возможных значений a, если значений aa бесконечно много. Если значений aa нет никаких – пишите 0.Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 8096
Задание 4. Через переплетение труб и клапанов течёт вода. Система односторонняя, вода течёт в направлении стрелок. Вода со всех входящих в клапан труб объединяется вместе, а при выходе из клапана делится поровну между всеми исходящими из клапана трубами. Какая часть входящего потока выйдет через верхнюю трубу? Ответ при необходимости округлите до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 0.9
Задание 5. Дана окружность с центром O и радиусом 4√3. Проведена хорда AB, которая оказалась гипотенузой прямоугольного треугольника ABC. Диаметр окружности, проходящий через вершину C делится на четыре равных отрезка вершиной C треугольника, центром O окружности и точкой пересечения диаметра с хордой AB. Найдите расстояние от центра окружности до хорды AB. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Задание 6. Найдите ctg|x|, если известно, что (5cosx+7sinx+√2)(√2−√sin|x|)=0. В ответе укажите сумму всех возможных значений ctg|x|, округлённую до тысячных. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до тысячных. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Задание 7. Окружность с центром O на стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точках C и D, касается стороны BCBC и пересекает отрезок AO в точке E, а отрезок BO в точке F. Найдите площадь треугольника ABC, если BC=5, FB=4 и ∠ACB=∠DFC+90∘. При необходимости округлите ответ до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Задание 8. 23 друга катаются на катке в форме правильного 46-угольника. Каждый из них выбрал себе одну пару параллельных сторон катка и катается между ними по прямолинейным траекториям (возможно различным): стартовав от первой стороны, он доезжает до второй, касается заснеженного бортика и едет обратно к первой. И так далее. Через какое-то время оказалось, что суммарно на всех бортиках оказалось 2024 отпечатков рук (включая сделанные в конце, а в начале движения отпечатки не делаются), в углах бортиков отпечатков нет, а все ребята стоят у того бортика, от которого начали движение. Какое максимальное число пересечений траекторий могло получиться? (Самопересечения траекторий не учитываются.) Ответ округлить до десятых.
Скачать все ответы для 10 класса
Олимпиада по математике 11 класс
Задание 1. Сколько существует целых чисел N, при которых 48000⋅(2.5N+2.5N+1) – целое число?Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 8
Задание 2. Во дворе стояли два ведёрка: первое в форме параллелепипеда с квадратным дном, высотой 56 см и стороной основания 19 см. Второе — в форме усечённой пирамиды с квадратными основаниями, сторона нижнего основания равна 16 см, сторона верхнего – 32 см. Начался дождь, в результате чего оба ведра наполнились до краев одновременно. Найдите высоту второго ведра. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 12.37
Задание 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство выполняется для любых пар чисел (x,y), таких что |x|=|y|. В ответ записать сумму возможных значений параметра aa, если их конечное число, или сумму длин интервалов возможных значений a, если значений aa бесконечно много. Если значений a нет никаких – пишите 0.Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: 96
Задание 4. Найдите tg|x|, если известно, что (5sinx+3cosx+√2)(√11−√3sin|x|)=0. В ответе укажите сумму всех возможных значений tg|x|, округлённую до тысячных. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до тысячных. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Ответ: -0.3
Задание 5. Окружность с центром O на стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точках C и D, касается стороны BC и пересекает отрезок AO в точке E, а отрезок BO в точке F. Найдите площадь треугольника ABC, если BC=5, FB=4 и ∠ACB=∠DFC+90∘. При необходимости округлите ответ до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Задание 6. Пусть функция f(x) имеет конечное количество нулей и удовлетворяет условию f(2x)⋅(x−1)=f(x)⋅(22024x−1),x∈R. Найдите количество нулей функции f(x), лежащих в интервале [120242025,1]Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Задание 7. Даны два одинаковых шара радиуса 1, касающихся друг друга. К ним добавили еще три одинаковых шара, быть может другого радиуса, касающихся друг друга и первых двух шаров. Какого радиуса должны быть эти шары? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Задание 8. 88 друзей катаются на катке в форме правильного 176-угольника. Каждый из них выбрал себе одну пару параллельных сторон катка и катается между ними по прямолинейным траекториям (возможно различным): стартовав от первой стороны, он доезжает до второй, касается заснеженного бортика и едет обратно к первой. И так далее. Через какое-то время оказалось, что суммарно на всех бортиках оказалось 2024 отпечатков рук (включая сделанные в конце, а в начале движения отпечатки не делаются), в углах бортиков отпечатков нет, а все ребята стоят у того бортика, от которого начали движение. Какое максимальное число пересечений траекторий могло получиться? (Самопересечения траекторий не учитываются.)Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Скачать все ответы для 11 класса
Смотрите также на сайте олимпиады:
Олимпиада школьников Ломоносов отборочный этап 2024-2025 задания и ответы