6 декабря 2024 Олимпиада по математике 10, 11 класс ответы и задания муниципального этапа Москва
Решили все задания для 10 и 11 класса олимпиады по математике ответы для муниципального этапа 2024 всероссийской олимпиады школьников Москвы и Республики Дагестан дата проведения 6 декабря 2024 начало олимпиады в 16:00 по московскому времени.
Олимпиада по математике 10 класс
1. (4 балла) Действительные числа a1,a2,…,a90 образуют арифметическую прогрессию. Чему равно a2+a5+a8+…+a89, если a1+a2+a3+…+a90=3000?
2. (4 балла) Натуральное число назовём хорошим, если для него выполняются все следующие условия. Найдите наименьшее хорошее число.
- в его десятичной записи все цифры ненулевые
- сумма его цифр равна 32
- любая его цифра, кроме последних двух, является делителем суммы следующих за ней двух цифр
Ответ: 8888
3. Два равных прямоугольника имеют общую вершину и наложены друг на друга как на рисунке. а) (2 балла) Найдите вторую сторону прямоугольника. б) (2 балла) Найдите площадь закрашенной серым цветом части.
Ответ: а — 13, б — 138
4. (4 балла) Приведённые квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) таковы, что каждое из чисел 0,4,6,8,9,12 является корнем одного из трёхчленов P(x), Q(x) P(x)+Q(x). Чему равно P(0)+Q(0)? Напомним, что квадратный трёхчлен ax2+bx+c называется приведённым, если a=1.
Ответ: 42
5. На городском проспекте через равные расстояния расположены 11 зданий: склады с напитками, курьерская компания и 5 офисов. Расстояние между каждыми соседними зданиями равно 1 км. Вчера утром поступило пять одинаковых заказов из офисов. В каждый офис нужно было привезти пять ящиков бутылок: с молоком, с кефиром, с квасом, с соком и с минеральной водой. Автомобиль курьера Василия может одновременно везти только один ящик. Вчера он выехал из здания курьерской компании и развозил напитки в офисы, пока не выполнил все заказы, а затем вернулся в точку старта.
а) (1 балл) За доставку каждого ящика Василий получает 100 рублей. Сколько рублей Василий заработал за вчерашний день? б) (3 балла) На каждый километр пути автомобиль Василия тратит бензина на 5 рублей. Какую минимальную сумму в рублях Василий мог потратить на бензин за вчерашний день?
6. (4 балла) Дан четырёхугольник ABCD, причём AD=BC, ∠DAC=97∘, ∠CBD=83∘ и ∠BCD=65∘. Найдите ∠ACD (ответ дайте в градусах).
7. Школьный актовый зал представляет из себя квадрат 11×11. На вечернем мероприятии все места были заняты. Каждый из присутствующих сказал: «В моём горизонтальном ряду сидит больше девочек, чем в моём вертикальном ряду». Оказалось, что 60 детей сказало правду, а 61 неправду. Какое наибольшее число девочек могло присутствовать?
8. Функция f(x) определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Известно, что для любого натурального nn выполнено f(n+1)>f(n)и f(f(n))=3n. а) (1 балл) Найдите f(10). б) (3 балла) Найдите f(2024).
Скачать все ответы для 10 класса
Олимпиада по математике 11 класс
1. В прямоугольном параллелепипеде V все рёбра имеют целую длину (в сантиметрах). Петя выбрал одну из вершин параллелепипеда V и посчитал площади трёх граней, содержащих эту вершину. Оказалось, что наибольшая из площадей равна 240см2, а наименьшая 24см2. Обозначим xсм2 площадь оставшейся грани. Найдите сумму всех возможных значений x.
Ответ: 290
2.Положительные действительные числа x,yx,y удовлетворяют равенствам y=3√x и xy=yx. Чему может быть равно xy? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Ответ: 1, 9
3. Три окружности радиусов a,b,c касаются как на рисунке, а их центры Q,R,S вместе с точкой T являются вершинами прямоугольника, причём точка T лежит на окружности с центром S. Найдите площадь прямоугольника QRST, если b=5
Ответ: 300
4. В классе учится три человека, увлекающихся рисованием, четыре человека, увлекающихся шахматами, и пять человек, увлекающихся танцами (каждый ученик увлекается ровно одним занятием). Учитель хочет разбить всех детей по парам так, чтобы увлечения участников любой пары были различны. Сколькими способами он может это сделать?
5. Назовём натуральное число m привлекательным, если равенство [2024n]=m не выполняется ни для какого натуральноо n. Напомним, что [x] обозначает целую часть числа x. а) (2 балла) Найдите наименьшее привлекательное число. б) (2 балла) Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих 2024.
6. Назовём натуральное число n увлекательным, если в клетках квадратной таблицы n×n можно расставить числа от 1 до n2 так, чтобы сумма чисел в клетках любого квадратика 2×2 делилась на 4. а) (1 балл) Приведите пример числа n, которое не является увлекательным и удовлетворяет неравенствам 40⩽n⩽49. б) (3 балла) Найдите количество увлекательных чисел среди чисел 10,11,…,49
7. Обозначим αα положительный корень квадратного трёхчлена x2+x−5. Многочлен P(x) имеет целые неотрицательные коэффициенты и P(α)=49. а) (1 балл) Найдите наименьший возможный свободный член многочлена P. б) (3 балла) Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена P.
8. (4 балла) Дан тетраэдр ABCD. Известно, что AD=BC=10, AC=BD=11, AB=9 и CD=13. Борис выбирает точку X внутри тетраэдра и считает сумму AX+BX+CX+DX. Какое наименьшее значение он может получить?
Скачать все ответы для 11 класса
Смотрите также на сайте олимпиады:
Муниципальный этап 2024 Москва задания и ответы для олимпиады ВСОШ