8 ноября 2025 Олимпиада по математике 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс ответы и задания муниципального этапа
Решили все задания для 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса олимпиада по математике правильные ответы для муниципального этапа 2025-2026 учебный год всероссийской олимпиады школьников ВСОШ Московской области дата проведения 8 ноября 2025 начало олимпиады в 10:00 утра.
Олимпиада по математике 5 класс муниципальный этап 2025
1. На уроке физкультуры дети выстроились в ряд. Между Петей и Сашей стоит 7 ребят, а между Сашей и Мишей стоит 9 ребят. Сколько ребят может стоять между Петей и Мишей?
Ответ: 17
2. На доске вначале написано число 123. С числом на доске разрешается выполнять одну из двух операций: стереть его последнюю цифру, удвоить число. Четырехзначные числа записывать на доску нельзя. Можно ли получить на доске число, большее 95?
Ответ: да, можно
3. Алексей хочет купить в магазине несколько одинаковых шоколадок. Цена каждой шоколадки выражается целым нечётным числом рублей. Если он даст кассиру купюру в 2000 рублей, он сможет купить 9 шоколадок. Если он добавит купюру в 200 рублей, то всё равно сможет купить только 9 шоколадок. Сколько стоит одна шоколадка?
Ответ: 221
4. Найдите наибольшее 2025-значное число, у которого каждая цифра, кроме первой и последней, равна сумме двух соседних с ней цифр, умноженной на некоторое натуральное число или ноль (этот множитель не обязательно должен быть один и тот же при получении цифр искомого числа).
5. Дана таблица 9 × 9. Назовем клетки таблицы соседними, если они имеют ровно одну общую вершину. Можно ли расставить в клетки этой таблицы различные натуральные числа от 10 до 90 так, что сумма чисел, стоящих в любых двух соседних клетках, не делилась бы на 3?
Олимпиада по математике 6 класс муниципальный этап 2025
1. Фигура «пьедестал» составлена из трёх квадратов с длинами сторон 6, 8 и 12 так, как показано на рисунке. Найдите периметр этой фигуры.
Ответ: 76
2. У Пети и Коли две одинаковые рабочие тетради, в которых есть рисунок окружности с отмеченными на ней N точками, делящими окружность на равные дуги. Две из этих точек на рисунке обозначены А и Б (одинаково в обеих тетрадях). Петя и Коля занумеровали точки каждый в своей рабочей тетради номерами от 1 до N. У них обоих нумерация идет по часовой стрелке, но начальные точки счёта различны. Найдите N, если известно, что у точки А пятый номер в счёте Пети и двенадцатый номер в счёте Коли, а у точки Б – наоборот: двенадцатый номер в счёте Пети и пятый номер в счёте Коли.
Ответ: 14
3. Артём сопоставил каждой букве русского алфавита число, а каждому слову (возможно бессмысленному) сопоставил произведение чисел, соответствующих всем буквам этого слова. Например, если буквам М и А сопоставлены числа 3 и 1 2 , то слову МАМА будет сопоставлено число 9 4 . Могло ли так оказаться, что словам ОДИН, ДВА, ТРИ, …, ДВАДЦАТЬ сопоставлены числа 1, 2, 3, …, 20 соответственно?
Ответ: не могло
4. Найдите наибольшее 2025-значное число, у которого каждая цифра, кроме первой и последней, равна сумме двух соседних с ней цифр, умноженной на некоторое натуральное число или ноль (этот множитель не обязательно должен быть один и тот же при получении цифр искомого числа)
5. Дана таблица 9 × 9. Назовем клетки таблицы соседними, если они имеют общую сторону. Можно ли расставить в клетки этой таблицы различные натуральные числа от 10 до 90 так, что сумма чисел, стоящих в любых двух соседних клетках, не делилась бы на 3?
Олимпиада по математике 7 класс муниципальный этап 2025
1. Найдите четыре целых числа таких, что их сумма равна нулю, а произведение равно 2025.
Ответ: а-45, в-1, с-45, d-1. a-15, в-3, с-15, d-3. a-9, в-5, с-9, d5.
2. В кошельке лежали 10 монет достоинством 5 и 10 рублей. Семь ребят разобрали все монеты, причём каждый взял либо одну монету, либо две. Если кто-то брал две монеты, то это были монеты разного достоинства. Известно, что у Пети в итоге оказалось меньше денег, чем у любого другого ребёнка. Какая сумма могла лежать в кошельке?
Ответ: 80 рублей
3. Среди 11 человек есть лжецы (они всегда лгут) и рыцари (они всегда говорят правду). Каждому из них дали несколько конфет, после чего каждый сказал: «У меня чётное число конфет». После этого некоторые люди дали часть своих конфет кому-то другому. Может ли оказаться, что теперь каждый может сказать: «У меня нечётное число конфет»?
Ответ: нет, не может.
4. Прямоугольник разрезан на равные квадраты. Для каждого из квадратов посчитали количество квадратов разрезания, имеющих с данным квадратом общую сторону. Все посчитанные числа сложили и получили сумму, равную 220. Найдите количество квадратов разрезания, если известно, что по крайней мере один из них не имеет общих точек с границами прямоугольника.
5. Олег утверждает, что какие бы 50 попарно различных натуральных чисел ему не дали, он может выложить их в ряд так, что среди сумм соседних чисел встретится не менее N составных. Какое наибольшее значение может принимать N?
Олимпиада по математике 8 класс муниципальный этап 2025
1. Из цифр 0, 1, 2, …, 9 составили два пятизначных числа А и В (все цифры использованы, на 0 число начинаться не может). Может ли оказаться так, что число А делится на каждую цифру числа В, кроме 0, а число В делится на каждую цифру числа А?
Ответ: да, может
2. Среди 22 человек 11 лжецов (они всегда лгут) и 11 рыцарей (они всегда говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 11 из них положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка. Могло ли оказаться, что 11 из них ответили «да», а 11 ответили «нет»?
Ответ: нет, не могло
3. На стороне 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбрана точка 𝑃. Оказалось, что угол 𝐴𝑃𝐶 в два раза больше угла 𝐴𝐵𝐶, угол 𝐵𝑃𝐶 в два раза больше угла 𝐵𝐴𝐶. Найдите 𝑃𝐶, если 𝑀𝑁 = 4, где точка 𝑀 – середина стороны 𝐴𝐶, а точка 𝑁 – середина стороны 𝐵𝐶.
Ответ: PC=4
4. Олег утверждает, что какие бы 80 попарно различных натуральных чисел ему не дали, он может выложить их в ряд так, что среди сумм соседних чисел встретится не менее N составных. Какое наибольшее значение может принимать N?
5. Можно ли выбрать числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎10 так, что произведения 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4, 𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5, … , 𝑎8𝑎9𝑎10𝑎1, 𝑎9𝑎10𝑎1𝑎2, 𝑎10𝑎1𝑎2𝑎3, записанные в некотором порядке, образовывали последовательные натуральные числа 21, 22, 23, … , 30?
Олимпиада по математике 9 класс муниципальный этап 2025
1. Среди 32 человек 16 лжецов (они всегда лгут) и 16 рыцарей (они всегда говорят правду). Некоторым из них дали монеты, причём каждому – не более 3 монет. После чего у каждого из людей спросили: «Сколько тебе дали монет?». Было получено 8 ответов «0», 8 ответов «1», 8 ответов «2» и 8 ответов «3». Какое наибольшее количество монет могли суммарно дать всем этим 32 людям?
Ответ: 88
2. Существуют ли 18 последовательных натуральных чисел таких, что и суммы цифр этих чисел образуют 18 последовательных натуральных чисел (не обязательно записанных по порядку)?
Ответ: существуют
3. При решении уравнения (𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑐)(𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 𝑐) = 0, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – некоторые натуральные числа, причём 𝑎 > 𝑏, Катя обнаружила, что уравнение имеет четыре корня, и эти корни являются последовательными натуральными степенями тройки (например, 3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 6 ). Найдите все простые числа, которые могут быть делителями числа 𝑎 − 𝑏.
Ответ: 2,3
4. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Прямая, проходящая через точку 𝐴, пересекает отрезки 𝐵𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐵𝑋 и 𝐴𝐶𝑌, касаются.
5. Можно ли выбрать числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎10 так, что произведения 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4, 𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5, … , 𝑎8𝑎9𝑎10𝑎1, 𝑎9𝑎10𝑎1𝑎2, 𝑎10𝑎1𝑎2𝑎3, записанные в некотором порядке, образовывали последовательные натуральные числа 21, 22, 23, … , 30?
Олимпиада по математике 10 класс муниципальный этап 2025
1. На доску выписывают последовательность цифр 121122111222111122221… Сколько единиц будет записано на позициях с 1 по 10101 включительно, считая слева?
Ответ: 5051
2. На городских соревнованиях по велосипедному спорту была придумана следующая схема проведения заездов: спортсмены вначале все едут одинаковое время – полчаса, а затем без остановки – дополнительное время, начисляемое по правилу: каждый получает в заезде дополнительное количество минут, равное расстоянию, которое он проехал за первые полчаса, измеренному в км. При подведении итогов выяснилось, что Василий за первые полчаса проехал на 6 км больше, чем Алексей, а по окончании заездов – на 9 км больше, чем Алексей. Найдите скорости езды Василия и Алексея, если эти скорости были постоянными.
Ответ: 21 и 9 км\ч
3. При некотором значении параметра q уравнение (𝑥 2 + 10𝑥 + 𝑞)(𝑥 2 + 10𝑥 + 𝑞 + 18) = 0 имеет четыре различных корня, и эти корни образуют арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии?
Ответ: 38\8, 218\8
4. Выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Известно, что 𝐴𝐵 = 10, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 25 и 𝐴𝐷 = 50. Известно, что сумма углов 𝐴 и 𝐷 этого четырёхугольника меньше 180°. Чему может равняться эта сумма?
5. Артём задумал действительные числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎15. После чего он в некотором порядке выписал какие-то из произведений (возможно, все) 𝑎1𝑎2𝑎3, 𝑎2𝑎3𝑎4, … , 𝑎13𝑎14𝑎15, 𝑎14𝑎15𝑎1, 𝑎15𝑎1𝑎2. Получился ряд из нечётных натуральных чисел 1, 3, 5, 7, … , 2𝑘 + 1. Какое наибольшее 𝑘 могло у него получиться?
Олимпиада по математике 11 класс муниципальный этап 2025
1. Среди 14 человек 7 лжецов (они всегда лгут) и 7 рыцарей (они всегда говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 7 из них положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка. Могло ли оказаться, что 7 из них ответили «да», а 7 ответили «нет»?
Ответ: не могло
2. Дана тройка последовательных неоднозначных простых чисел таких, что их среднее арифметическое – также простое число. Докажите, что эти числа образуют арифметическую прогрессию, разность которой делится на 6.
3. Петя вырезал из картона 21 треугольник, у каждого из которых одна из сторон (будем называть её основанием) равна 2, а две другие (будем называть их боковыми сторонами) – целочисленные. Затем он сложил эти треугольники так, что их вершины совпали, а основания образовали 21-звенную пространственную замкнутую ломаную. Докажите, что если у одного из треугольников есть боковая сторона длины 25, то сумма периметров всех треугольников не меньше 872.
4. На тригонометрической окружности отметили вершины правильного 28- угольника, причём одна вершина попала в точку (1; 0). Два игрока по очереди красят по одной вершине своим цветом. Дважды красить вершины нельзя. Игра заканчивается, когда покрашены все вершины. После чего первый игрок считает сумму 𝑆1 – сумму модулей синусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом первого игрока. Второй игрок считает сумму 𝑆2 – сумму модулей косинусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом второго игрока. Если 𝑆1 > 𝑆2, то выигрывает первый игрок. Иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?
5. Верно ли, что у уравнения 𝑎 3 − 𝑏 3 = 𝑐 4 есть решение в натуральных числах такое, что 𝑐 > 5 2025?
Смотрите на сайте
Муниципальный этап 2025 Московская область задания и ответы олимпиады ВСОШ