Олимпиада по математике 11 класс 14 октября 2026 ответы и задания школьного этапа Сириус
Школьный этап 2026-2027 всероссийской олимпиады школьников Сириус по математике задания и ответы для 11 класса 14 октября 2026 года. Данная олимпиада проходит у школьников 1 группы регионов и Москвы в 8:00 утра ответы и решение опубликованы после заданий.
Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2026 Сириус
№1
Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 154 штрафных броска на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 1/4 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 2/7 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
Ответ: 43
№1.2
Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 132 штрафных броска на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 2/5 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 3/4 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
Ответ: 92
№1.3
Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 105 штрафных бросков на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 1/3 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 3/5 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
Ответ: 59
№1.4
Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 135 штрафных бросков на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 2/5 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 2/3 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
Ответ: 86
№2
Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
- 1
- 2
- 5
- 7
- 12
- 14
Ответ: 2; 5; 7; 12; 14
№2.2
Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
- 1
- 2
- 5
- 10
- 11
- 16
Ответ: 2; 5; 10; 11; 16
№2.3
Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
- 1
- 2
- 7
- 10
- 14
- 17
Ответ: 2; 7; 10; 14; 17
№2.4
Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
- 1
- 2
- 8
- 9
- 16
- 17
Ответ: 2; 8; 9; 16; 17
№3
На плоскости расположены 18 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Ответ: 9
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
Ответ: -119
№3.2
На плоскости расположены 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Ответ: 10
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
Ответ: -152
№3.3
На плоскости расположены 22 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Ответ: 11
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
Ответ: -189
№3.4
На плоскости расположены 24 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Ответ: 12
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
Ответ: -230
№4
В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 3 и 2523 соответственно.
Ответ: 1/29
№4.2
В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 2 и 1922 соответственно.
Ответ: 1/31
№4.3
В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 3 и 2187 соответственно.
Ответ: 1/27
№4.4
В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 2 и 2178 соответственно.
Ответ: 1/33
№5
Вася случайным образом выбирает число n из множества {241; 242; …; 250} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {323; 324; …; 332} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/5
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 7/25
№5.2
Вася случайным образом выбирает число n из множества {120; 121; …; 129} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {221; 222; …; 230} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 3\20
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1\4
№5.3
Вася случайным образом выбирает число n из множества {123; 124; …; 132} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {622; 623; …; 631} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 3\25
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/4
№5.4
Вася случайным образом выбирает число n из множества {250; 251; …; 259} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {422; 423; …; 431} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/10
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 3\10
№6
Найдите количество способов разрезать прямоугольник 4 × 13 на прямоугольники 1 × 4 и квадраты 4 × 4. Фигуры можно поворачивать.
№6.2
Найдите количество способов разрезать прямоугольник 3 × 10 на прямоугольники 1 × 3 и квадраты 3 × 3. Фигуры можно поворачивать.
№6.3
Найдите количество способов разрезать прямоугольник 3 × 11 на прямоугольники 1 × 3 и квадраты 3 × 3. Фигуры можно поворачивать.
№6.4
Найдите количество способов разрезать прямоугольник 4 × 14 на прямоугольники 1 × 4 и квадраты 4 × 4. Фигуры можно поворачивать.
№7
Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 361 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 209. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
№7.2
Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 253 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 575. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
№7.3
Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 190 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 323. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
№7.4
Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 289 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 119. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
№8
В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 5, AB = 11, AC = 12.
№8.2
В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 12, AB = 15, AC = 13.
№8.3
В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = б7, AB = 8, AC = 9.
№8.4
В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 5, AB = 8, AC = 9.
→ Посмотреть все ответы и задания
Смотрите для 11 класса олимпиаду по математике