1 октября 2023 Турнир Ломоносова по математике ответы и задания для 6-11 классов
Официальные ответы, решения и задания для турнира Ломоносова по математике для 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса дата проведения турнира онлайн на сайте 1 октября 2023. Цель Турнира — дать участникам материал для размышлений и подтолкнуть интересующихся к серьёзным занятиям.
1 (6; ответ). Саша написал на доске несколько двузначных чисел в порядке возрастания, а после этого заменил одинаковые цифры на одинаковые буквы, а разные цифры — на разные буквы. У него получилось (в том же порядке) АС, АР, ЯР, ЯК, ОК, ОМ, УМ, УЖ, ИЖ, ИА Восстановите цифры. Форма ответа: соответствие, соединить буквы А, Ж, И, К, М, О, Р, С, У, Я и цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2 (6–7; ответ). На площади стояло несколько человек, каждый лицом к одному из 4 объектов, расположенных как на рисунке. Каждый человек записал, какой объект находится перед ним, какой — слева, а какой — справа. В итоге «дом» было написано 5 раз, «фонтан» — 6 раз, «скамейка» — 7 раз, «дерево» — 9 раз. Сколько человек стояло на площади, и сколько из них стояло лицом к каждому из объектов? Форма ответа: 5 полей для ввода чисел: Всего человек: Лицом к дому: Лицом к фонтану: Лицом к скамейке: Лицом к дереву:
3 (6–8; ответ). Фигуру снизу можно разделить на трёх «дикобразов» (возможно, повёрнутых или перевёрнутых), изображённых на рисунке сверху. Отметьте дольки, в которых окажутся глаза этих дикобразов. Форма ответа: отметить три четырёхугольных кусочка на картинке (внутри фигуры внизу).
4 (7–9; ответ). Назовём натуральное число 𝑛 интересным, если 𝑛 и 𝑛 + 2023 — палиндромы, то есть числа, одинаково читающееся слева направо и справа налево. Найдите наименьшее и наибольшее интересные числа. Форма ответа: Два поля для ввода чисел: Наименьшее: Наибольшее:
5 (8–10; ответ). Город 𝑁 представляет собой клетчатый квадрат 9×9. За 10 минут Таня может перейти из любой клетки в соседнюю по стороне. Ваня может открыть в любых двух клетках по станции метро — после этого можно будет перемещаться из одной такой клетки в другую за 10 минут. Отметьте две клетки, в которых Ване нужно открыть метро, чтобы Таня могла добраться из любой клетки города в любую другую за 2 часа. Форма ответа: Отметить две клетки на поле 9 × 9.
6 (9–11; ответ). Рассмотрим различные прямоугольники периметра 10, лежащие внутри квадрата со стороной 10. Чему равна наибольшая возможная площадь закрашенной звёздочки (см. рисунок)? Ответ округлите до двух знаков после запятой.
7 (10–11; решение). Существует ли число, которое может быть представлено в виде 1 𝑛 + 1 𝑚 , где 𝑚 и 𝑛 натуральные, не менее чем ста способами? Ответ объясните. Форма ответа: Выбор одного из вариантов «Существует» и «Не существует» и текстовое поле для объяснения.
8 (11; ответ). У Карабаса–Барабаса есть большой участок земли в форме выпуклого 12-угольника, в вершинах которого стоят фонари. Карабасу–Барабасу нужно поставить внутри участка некоторое конечное число фонарей, разделить его на треугольные участки с вершинами в фонарях и раздать эти участки актёрам театра. При этом каждый внутренний фонарь должен освещать не менее шести треугольных участков (фонарь светит недалеко, только на те участки, в вершине которых стоит). Какое максимальное количество треугольных участков может раздать Карабас–Барабас актёрам?