15 октября 2024 Олимпиада по математике 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс ответы и задания школьного этапа Сириус
Решили все задания для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса олимпиады по математике ответы для школьного этапа 2024 всероссийской олимпиады школьников Сириус 1-2 группа регионов и Москвы дата проведения 15 октября 2024. Для каждого класса решены все задания.
Олимпиада по математике 4 класс
1. У Димы есть шестиугольные плитки трёх цветов. Когда он складывает три плитки в форме треугольника с вершиной вверху (см. рисунок), эти три плитки должны быть одного цвета или трёх различных цветов.
Дима хочет сложить пирамидку, указанную на рисунке, причём нижний слой он уже сложил.
Шестиугольник какого цвета окажется наверху?
Зелёный
Жёлтый
Синий
Ответ: жёлтый
2. Грузовой поезд состоит из локомотива, за которым следуют вагоны, в каждом из которых расположен ровно один пронумерованный контейнер. Контейнеры должны выгружаться в порядке возрастания номера, начиная с 1. Для выгрузки контейнера его вагон располагается непосредственно под краном. Кран неподвижен, а поезд может двигаться только вперёд по кругу. Для разгрузки всех вагонов требуется несколько заходов. Каждый заход начинается с того, что под краном располагается локомотив.
В приведённом выше примере для разгрузки требуется три захода: в первом выгружаются контейнеры 1 и 2, во втором контейнер 3, в третьем контейнер 4. Какое минимальное число заходов нужно для разгрузки поезда на рисунке ниже?
Ответ: 6
3. Вчера Олег побывал в пяти разных местах. Магазин он посетил раньше бассейна. В лесу он побывал раньше, чем в парке и магазине. Неизвестно, ходил ли он в кино раньше посещения бассейна, но между этими событиями он посетил только парк. Какое место он посетил вторым по счёту?
Бассейн
Лес
Магазин
Кино
Парк
Ответ: кино
4. Из чисел от 3 до 8 отбросили одно, а остальные 5 поместили в клетки фигуры, показанной на рисунке.
Оказалось, что сумма трёх чисел в среднем столбце равна 13, а сумма трёх чисел в средней строке равна 17. Какое число поставили в центр фигуры?
Ответ: 7
5. Из спичек сложили сетку из квадратов 20×24 со стороной в одну спичку. Найдите количество спичек, расположенных внутри прямоугольника, ограничивающего сетку. Для примера на рисунке изображена квадратная сетка 4×2, внутри прямоугольника 4×2, ограничивающего сетку, находится 10 спичек.
6. Имеется кубик, на каждой грани которого написано число. Развёртка этого кубика приведена на рисунке.
Из восьми таких одинаковых кубиков построен куб большего размера. Найдите минимально возможную сумму всех чисел на шести гранях этого куба.
7. На квадратном поле 8×8 растут сельскохозяйственные культуры так, как показано на рисунке.
Ян хочет установить несколько поливальных машин так, чтобы каждый участок поля поливался ровно одной машиной. Каждое устройство должно поливать культуры ровно одного вида. В распоряжении Яна есть поливальные машины для участков размером 1×1, 2×2 и 4×4. Какое минимальное число поливальных машин должен установить Ян?
8. На плане показана схема дорог и приведена длина каждой. Полина хочет составить непрерывный маршрут по дорогам наибольшей длины, начинающийся в A и заканчивающийся в B. Он должен проходить по каждой дороге не более одного раза. Какую наибольшую длину может иметь такой маршрут?
Скачать все ответы для 4 класса
Олимпиада по математике 5 класс
Задание 1. На доску последовательно были наклеены равные цветные треугольники
Какой треугольник был наклеен третьим по счёту?
Синий
Зелёный
Красный
Жёлтый
Оранжевый
Ответ: Желтый
Задание 2. В Сириусе каждый третий житель хотя бы один раз в день пользуется самокатом. Среди тех, кто воспользовался самокатом, каждый пятый воспользовался им хотя бы дважды. Какая часть жителей пользуется самокатом не менее двух раз в день?
Ответ: 1/15
Задание 3. В магазине имеются одинаковые шарики для настольного тенниса и проводится серия акций. Выберите самую выгодную акцию, то есть ту, при которой стоимость одного шарика получается самой низкой:
Заплатите за 29 и получите 36 шариков
Заплатите за 21 и получите 24 шарика
Заплатите за 15 и получите 18 шариков
Заплатите за 10 и получите 12 шариков
Заплатите за 5 и получите 6 шариков
Ответ: заплатите за 29 и получите 36 шариков
Задание 4. Вася решил прогуляться по городу. Вместо того, чтобы идти по прямой улице, соединяющей точки A и B, Вася обходил квадратные кварталы города по стрелкам, как показано на рисунке.
Длина его маршрута в итоге составила 12 км. Чему равно расстояние между точками A и B по прямой? Ответ выразите в километрах.
Ответ: 4
Задание 5. Петя изготовил игральный кубик необычной формы. Он срезал углы у куба так, чтобы получился многогранник с 14 гранями, 8 из которых треугольники, а 6 восьмиугольники. На каждой грани он записал число от 1 до 14 (каждое по одному разу) так, что суммы чисел на противоположных гранях оказались одинаковы. Петя подбросил кубик, и тот упал так, как указано на рисунке
Найдите сумму чисел на тех треугольных гранях, которые не видны.
Задание 6. Петя записал на доске несколько различных двузначных чисел так, чтобы сумма никаких двух из них не была равна 84. Какое максимальное количество чисел мог написать Петя?
Задание 7. Даша участвует в розыгрыше приза. На столе стоят 4 пронумерованные коробки, ровно в одной из них приз. Ведущий произносит 4 утверждения, ровно одно из которых истинно: 1. Приз во второй или в третьей коробке. 2. Приз в первой коробке. 3. Приз не в третьей коробке. 4. Приз в первой или в четвёртой коробке. Где находится приз?
В первой коробке
Во второй коробке
В третьей коробке
В четвёртой коробке
Приз не может лежать ни в какой коробке
У Даши не получится однозначно определить коробку, так как приз может быть более чем в одной коробке
Задание 8. Для чемпионата по стрельбе из лука изготовили необычную мишень, она изображена на рисунке.
В каждом раунде спортсмен стреляет тремя стрелами и результат равен сумме очков, полученных за каждую стрелу. Попадание в каждую из областей оценивается в 5, 3 или 2 очка. В случае промаха начисляется 00 очков. Если стрела попадает в линию, разделяющую две области, то начисляется большее количество очков из этих двух областей. Победитель соревнований набрал 164 очка. Какое наименьшее количество раундов могло быть в чемпионате?
Скачать все ответы для 5 класса
Олимпиада по математике 6 класс
Задание 1. Петя сложил 14 кубиков с синими и белыми гранями, как показано на рисунке.
У какого максимального количества кубиков все грани могут быть синими?
Ответ: 5
Задание 2. Маша каждый месяц оплачивает интернет и раз в два месяца продлевает подписку на любимый онлайн‑кинотеатр. Первого января 2024 года она подключила интернет и сразу же оформила подписку на онлайн‑кинотеатр. Цена подписки в 3 раза превышает стоимость интернета за месяц. Маша посчитала, что за весь 2024 год она потратит 15000 рублей. Сколько стоит месячный доступ к интернету? Ответ выразите в рублях. Сколько стоит двухмесячная подписка на онлайн‑кинотеатр? Ответ выразите в рублях.
Ответ: 500, и 1500 получается
Задание 3. Девять друзей купили 5 пицц, каждая из которых разрезана на 6 или 8 кусочков. Все съели одинаковое количество кусочков, и ничего не осталось. По сколько кусочков съел каждый из друзей?
Ответ: 4
Задание 4. Круг разделён на 14 секторов.
В каждом секторе находится один синий шарик. За ход можно выбрать любые два шарика, один из них переместить в соседний сектор по часовой стрелке, а другой —— в соседний сектор против часовой стрелки. Можно ли сделать несколько ходов так, чтобы суммарно в серых секторах оказалось указанное количество шариков? Выберите все подходящие ответы:
Ровно 2 шарика
Ровно 3 шарика
Ровно 4 шарика
Ровно 13 шариков
Ровно 14 шариков
Ответ: 3, 13
Задание 5. Фигура состоит из трёх различных квадратов со сторонами a, b, a + b сантиметров, причём aa, b —— целые положительные числа и a<b
Известно, что периметр фигуры, изображённой на рисунке, составляет 78 сантиметров. Чему может быть равна сумма aaи b? Ответ выразите в сантиметрах. Укажите все возможные варианты. Каждое число записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 6. На кинофестиваль приехало 5000 зрителей, некоторые из них рыцари, которые всегда говорят правду, а остальные лжецы, которые всегда лгут. В финал конкурса вышли два фильма, и каждый зритель должен проголосовать ровно за один из них. После завершения конкурсной программы 3000 зрителей сказали, что проголосуют за фильм А, а 2000 что проголосуют за фильм Б. После этого все 3000 зрителей, обещавших голосовать за А, произнесли следующую фразу: «Каждый из тех, кто сказал, что проголосует за фильм Б лжец». Какое наименьшее количество голосов мог набрать в итоге фильм‑победитель?
Задание 7. В турнире по боссаболу за победу в каждом матче даётся 1 очко, за поражение 00 очков, ничьих не бывает. Организаторы решили провести турнир среди 14 команд. Турнир проводится по круговой системе каждая команда играет с каждой один раз. В каждом туре проходит 7 матчей: команды разбиваются на пары ещё не игравших друг с другом. Через какое наименьшее количество туров может наступить момент, когда не найдётся 3 команд, набравших одинаковое количество очков?
Задание 8. Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также Володя заметил, что если сложить два любых разных числа с листочка Анны, то получится одно из чисел Бориса. Затем Володя попросил каждого из ребят выбрать одно из трёх записанных ими чисел и назвать его. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. А Борис назвал число 25. Какое число назвала Анна?
Скачать все ответы для 6 класса
Олимпиада по математике 7 класс
Задание 1: Несколько мальчиков купили в магазине по 5 пачек печенья, а экономная девочка Таня купила меньше. В каждой пачке по 12 печений. У всех детей вместе оказалось 396 печений. Сколько пачек печенья купила Таня?
Ответ: 3
Задание 2: Четыре числа a, b, c и d таковы, что верна пропорция
Найдите произведение всех четырёх чисел.
Ответ: 3600
Задание 3: Алёна, Полина и Маша хотели поиграть на игровых автоматах. Оказалось, что Алёне не хватает 40 рублей для оплаты четырёх игр, Полине 30 рублей для оплаты двух игр, а Маше 77 рублей для оплаты одной игры. Тогда они сложили свои деньги, и выяснилось, что у них 700 рублей на всех. Сколько стоит одна игра?
Ответ: 111
Задание 4: Тройняшкам Маше, Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии гаснет. Изначально ни одна из кнопок не горела. Сначала Маша нажала на 17 различных кнопок, потом Полина на 18, а Эрика на 20. В результате все кнопки загорелись. Сколько кнопок было нажато трижды?
Ответ: 15
Задание 5: Квадрат 7×7, показанный на рисунке, разрезан без остатка по линиям клеток Найдите максимально возможное количество пятиклеточных фигурок, содержащих звёздочки (одну или больше). Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
Задание 6: На балу присутствует не более 20 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 2/5 всех мужчин и 4/7 всех женщин. Сколько людей присутствует на балу?
Задание 7: Среди трёх друзей один выше всех по росту, другой старше всех, а третий самый хитрый. Самый высокий всегда говорит правду, самый старший всегда лжёт, а самый хитрый может иногда говорить правду, а иногда лгать. И Петя, и Вася сказали: «Я самый хитрый!», а Алёша добавил: «Петя выше самого хитрого из нас». Кто из ребят старше всех?
Алёша
Вася
Петя
Задание 8: В левой верхней клетке прямоугольной клетчатой поляны 10×12 сидят 7 жуков. За один ход один из жуков переползает на одну клетку вправо или на одну клетку вниз. Через несколько ходов все жуки собрались в правой нижней клетке. Найдите наименьшее количество клеток, не посещённых ни одним жуком.
Скачать все ответы для 7 класса
Олимпиада по математике 8 класс
Задание 1. Аня нарисовала на плоскости квадрат и поделила верхнюю и нижнюю его стороны на 10 равных частей каждую. Затем она провела 11 прямых, соединяющих самую левую верхнюю точку с самой правой нижней, вторую слева верхнюю точку со второй справа нижней и так далее. После этого она поделила правую и левую стороны на 8 равных частей каждую и провела 7 горизонтальных прямых через точки деления. На сколько частей эти отрезки поделили квадрат? На рисунке показан пример, когда сначала она провела 6 отрезков сверху вниз, а затем 3 горизонтальных.
Ответ: 136
Задание 2. Однажды утром 10 января Кот в сапогах обнаружил, что его вес стал на 20 % больше, чем был до новогодних праздников. Чтобы восстановить форму, Кот в сапогах сел на диету и вскоре обнаружил, что его вес уменьшился на 20 % по сравнению с весом 10 января и на 236 граммов по сравнению с весом до новогодних праздников. Сколько весил Кот в сапогах до новогодних праздников? Ответ выразите в килограммах.
Ответ: 5,9 килограмм
Задание 3. Из клетчатого квадрата 11×11 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 3 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну. Сколько клеток могло быть вырезано?
Ответ: 1
Задание 4. В кошельке лежит 1000 рублей одно‑, двух‑ и пятирублёвыми монетами. Известно, что общее число монет равно 300 и что монет каких‑то двух достоинств равное количество. Найдите это количество.
Ответ: 140
Задание 5. Сколько клетчатых прямоугольников, содержащих ровно одну закрашенную клетку, изображено на рисунке? Любой квадрат (в частности, сам квадрат 5×5) является прямоугольником.
Задание 6. В соревновании по настольному теннису участвовало ровно 58 школьников, среди которых половина рыцари, всегда говорящие правду, и половина лжецы, которые всегда лгут. По правилам турнира проигравший выбывал. В результате после нескольких игр ровно половина ребят выбыла. После этих событий каждый из оставшихся участников заявил, что выиграл ровно у одного рыцаря. Какое наибольшее количество рыцарей могло остаться среди участников турнира?
Задание 7. Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 5. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши:
50
52
54
100
206
Задание 8. Угол C треугольника ABC равен 60∘. На продолжении стороны BC за точку C выбрана точка D так, что DC+CA=BC. Оказалось, что ∠ADB=40∘. Найдите угол BAD. Ответ выразите в градусах.
Скачать все ответы для 8 класса
Олимпиада по математике 9 класс
Задание 1. В зрительном зале расставили стулья в 20 рядов, по 11 в каждом из них. Стулья пронумерованы: сначала от 1 до 11 в первом ряду, потом от 12 до 22 во втором ряду и так далее. Зрителям выдали билеты на спектакль с указанием номера стула. В перерыве решили сделать 20 рядов по 14 стульев в каждом и пронумеровать: сначала от 1 до 14 в первом ряду, потом от 15 до 28 во втором и так далее; зрители сели согласно указанным в билете номерам. Сколько зрителей теперь оказалось в том же ряду, что первоначально?
Ответ: 26
Задание 2. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка E. Известно, что ∠EBC=25∘, ∠BCA=32∘, ∠BAC=60∘. Точка D на плоскости такова, что AD∥BE. Какое наименьшее значение может принимать величина угла ∠DAB? Ответ выразите в градусах.
Ответ: 57 градусов
Задание 3. Жора задумал три натуральных числа a, b, c. Чему могут равняться a+b, b+c и c+a?
101, 209, 306
206, 305, 404
404, 504, 704
101, 202, 505
301, 302, 607
Ответ: ++-+-
Задание 4. В турнире по боксу принимают участие 32 человека. Правила турнира таковы, что матч обязательно заканчивается победой одного из участников (т.е. ничьих не бывает). Турнир на выбывание: проигравший в каком‑то поединке участник выбывает и больше не принимает участие в соревнованиях. По окончании турнира выяснилось, что N участников провели на ринге не менее 7 матчей. При каком наибольшем N такое возможно?
Ответ: 4
Задание 5. Саша и Юра задумали по числу от 1 до 10, после чего Саша заявил: «Неважно, какое число ты задумал, в произведении наших чисел нет цифры 6». Юра ответил: «Тогда сумма наших чисел равна 14». Саша и Юра не ошибаются. Какое число задумал Юра?
Задание 6. Баба Яга готовит зелье. Рецепт подразумевает, что в зелье должны попасть:
- не более 5 лягушек (возможно, 0);
- чётное число волчьих зубов (возможно, 0);
- кратное шести число драконьих чешуек (возможно, 0);
- ровно 2025 ингредиентов.
Сколькими способами Баба Яга может приготовить зелье? Порядок добавления ингредиентов неважен.
Задание 7. Длины сторон AB и AD прямоугольника ABCD равны 16 и 27 соответственно. Пусть M середина стороны CD, и пусть K такая точка на плоскости, что A середина отрезка KM. Найдите площадь треугольника KBD.
Задание 8. Простое число p таково, что для любых a и b числа 11a+5b и a+4b или оба делятся на p, или оба не делятся. Чему может быть равно p? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Скачать все ответы для 9 класса
Олимпиада по математике 10 класс
Задание 1. Боковые грани пирамиды четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны a, b и c.
Выберите верное утверждение:
a=b=c
b=c>a
b<c<a
a>b=c
Ответ: b<c<a
Задание 2. Действительные числа x и y таковы, что
Какое наибольшее значение может принимать y?
Ответ: 16
Задание 3. На чертеже четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω. Прямая, проходящая через точку D и параллельная AB, пересекает ω в точке P. Известно, что ∠PDC=20∘, ∠DPB=85∘.
Найдите величину угла ∠ABC. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 115
Задание 4. Натуральные числа a, b и c таковы, что НОД (a, b) =2 и НОД (b, c) =4. Чему может быть равен НОД (a, c)? Выберите все верные ответы:
1
2
3
6
12
Ответ: 2, 6
Задание 5. У Жоры есть коробка конфет, в которой конфеты расположены прямоугольником 4×10 (4 строчки, 10 столбцов). Жора берёт по одной конфете, каждый раз выбирая из строки, в которой осталось максимальное количество конфет; если таких несколько из любой из них. Сколькими способами Жора мог съесть первые 5 конфет? Порядок поедания важен.
Задание 6. Прямая ℓ, пересекающая стороны AB и AC треугольника ABC, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть X и Y проекции точек B и C на прямую ℓ. Найдите длину отрезка XY, если AB=19, AC=24.
Задание 7. В стране 3 мегаполиса и 6 городков. Авиакомпания планирует расписание полётов между ними. Руководитель хочет, чтобы выполнялись следующие условия:
- от любого населённого пункта до любого другого можно добраться (прямым рейсом или с пересадками);
- если из пункта A есть рейс в пункт B, то и из пункта B есть рейс в пункт A;
- из двух мегаполисов можно улететь ровно в три населённых пункта, а из одного в четыре;
- из каждого городка можно улететь ровно в один населённый пункт.
Сколько существует способов организовать такое расписание?
Задание 8. Числа a1, a2, ……, a9 таковы, что
Какое наибольшее значение может принимать a1?
Скачать все ответы для 10 класса
Олимпиада по математике 11 класс
Задание 1. Пете, Васе, Толе, Коле и Серёже выдали одинаковые наборы из четырёх карточек: 1, 5, 7, 8. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что произведение чисел на карточках простое число.
Ответ: 0,03125
Задание 2. Если длину прямоугольного поля увеличить на 18м, а ширину увеличить на 10м, то его площадь увеличится на 8280м2. На сколько уменьшится площадь поля, если его длину уменьшить на 18м, а ширину уменьшить на 10м? Ответ выразите в квадратных метрах.
Ответ: 7920
Задание 3. На сторонах правильного десятиугольника со стороной 2 отмечены две точки A и B. Чему может быть равна длина отрезка AB?
1
4
10
21
Ответ: 1, 4
Задание 4. Какой остаток при делении на 128 даёт число 26⋅33⋅512⋅2310?
Ответ: 64
Задание 5. Каждое из чисел от 1 до 3912 записано чернилами одного из k цветов (каждый цвет встречается). Оказалось, что для каждого цвета количество чисел этого цвета равно наименьшему числу, записанному чернилами этого цвета. При каком наибольшем k это возможно?
Задание 6. Жора решил систему уравнений
Для каждого решения Жора посчитал, чему равно (x+y)2. Чему равна сумма всех чисел, посчитанных Жорой?
Задание 7. Три окружности радиусами 3, 6, 8 расположены так, что общая хорда пересечения любых двух окружностей является диаметром меньшей из них.
Найдите квадраты длин сторон треугольника, образованного центрами этих окружностей. Каждое число записывайте в отдельное поле в порядке возрастания.
Найдите квадрат площади треугольника, образованного центрами этих окружностей.
Задание 8. Пусть n>2024 натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2024 до n. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных n<8000, для которых это число будет равно 0?
Скачать все ответы для 11 класса
Данные ответы и задания подойдут для регионов:
1. Архангельская область 2. Волгоградская область 3. Вологодская область 4. город Севастополь 5. Донецкая Народная Республика 6. Запорожская область 7. Кабардино-Балкарская Республика 8. Карачаево-Черкесская Республика 9. Краснодарский край 10. Луганская Народная Республика 11. Мурманская область 12. Новгородская область 13. Псковская область 14. Республика Адыгея 15. Республика Дагестан 16. Республика Калмыкия 17. Республика Коми 18. Республика Крым 19. Республика Северная Осетия — Алания 20. Ростовская область 21. Ставропольский край 22. Херсонская область 23. Чеченская Республика 24. Белгородская область 25. Брянская область 26. Владимирская область 27. Воронежская область 28. город Санкт-Петербург 29. Ивановская область 30. Калининградская область 31. Калужская область 32. Кировская область 33. Костромская область 34. Курская область 35. Ленинградская область 36. Липецкая область 37. Нижегородская область 38. Орловская область 39. Республика Марий Эл 40. Республика Мордовия 41. Республика Татарстан 42. Республика Чувашия 43. Рязанская область 44. Смоленская область 45. Тамбовская область 46. Тверская область 47. Тульская область 48. Ярославская область. Москва.
Смотрите также на сайте олимпиады:
Задания и ответы олимпиада Сириус ВСОШ 2024-2025 школьный этап