21 октября 2022 ответы и задания для олимпиады по математике 4-11 класс Сириус
Задания, ответы и решения школьного этапа 2022 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ по Математике 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 классов на платформе сайта «Сириус Курсы» пройдет 18-21 октября согласно графику проведения.
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 4 класс Сириус
1.Когда‑то давно Кирилл задумался о сегодняшнем дне и понял следующее:
- Завтра не сентябрь;
- Через неделю будет сентябрь;
- Послезавтра не среда.
- В какой из указанных дней все эти три утверждения верны одновременно?
Выберите все верные варианты: Понедельник, 30 августа Вторник, 31 августа Среда, 25 августа
2.Числа 8, 9, 10, 11, 12 расставлены в ряд в некотором порядке. Оказалось, что сумма первых трёх из них равна 31, а сумма последних трёх равна 29. Определите число, стоящее посередине.
3.Каждый день сладкоежка покупает на одну конфету больше, чем в предыдущий. За одну неделю в понедельник, вторник и среду в сумме он купил 405 конфет. Сколько конфет он купил за четверг, пятницу и субботу в сумме на той же неделе?
4.В квадрате 13×13 закрасили чёрным цветом центральную клетку. Максим нашёл клетчатый прямоугольник наибольшей площади, который целиком располагается внутри квадрата и не содержит чёрную клетку. Сколько в нём клеток?
5.Алина добирается в школу на автобусе. Автобус ходит по расписанию каждые 15 минут. На дорогу до остановки девочка тратит всегда одинаковое число минут. Если она выйдет из дома в 8:20, то будет в школе в 8:57, а если выйдет из дома в 8:21, то опоздает в школу. Уроки начинаются в 9:00. На сколько минут Алина опоздает в школу, если выйдет из дома в 8:23?
6.Марк загадал трёхзначное число, большее 500, и сказал, что если все нечётные цифры этого числа заменить на А, а чётные — на Б, то получится АББ. Если же все цифры, делящиеся на три, заменить на В, а не делящиеся на три — на Г, то получится ВВГ. Укажите все трёхзначные числа, отвечающие этим условиям.
7.У каждой из 37 шестиугольных ячеек есть 3, 4 или 6 соседей. В некоторые из ячеек поставили фишки. После этого в каждую свободную ячейку, соседствующую не менее чем с двумя ячейками, которые содержат фишки, записали число этих соседних фишек. Затем фишки убрали, и на рисунке остались только числа. Сколько было фишек?
8.В прямоугольнике 9×14 расставили числа от 1 до 126. Получилось девять строк и четырнадцать столбцов. В каждом столбце выбрали среднее по величине число, а из средних чисел выбрали наибольшее. Какое наименьшее значение может принимать это наибольшее число? Напомним, что среди 99 чисел средним по величине называется такое, которое больше 49 других и меньше 49 других.
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 5 класс Сириус
1.На стадион через КПП под номерами 1, 2, 3, 4 на входе зашло поровну болельщиков. Дальше они миновали ещё несколько КПП, двигаясь по стрелкам, на развилке болельщики распределялись поровну. На КПП 7 контроль прошло 30 человек. Сколько человек прошло через КПП 6? КПП (контрольно‑пропускной пункт) — место, где сотрудники стадиона проверяют у зрителей наличие билетов и отсутствие запрещённых предметов.
2.Вася впервые купил билет в купейный вагон. Думая, что в каждом купе 7 мест, Вася решил, что его купе имеет номер 5. В каком купе на самом деле может оказаться место Васи, если известно, что в каждом купе 4 места? Укажите все возможные варианты.
3.Садовник выращивает белые и красные цветы: пионы и розы. В его саду 401 цветок, среди которых 135 роз и 272 красных цветка. Какое наибольшее число белых пионов может расти у садовника?
4.Мама испекла четыре булочки с изюмом на завтрак двум своим сыновьям. В первые три булочки она положила 6, 6, 27 изюминок и сколько‑то ещё в четвёртую. Оказалось, что мальчики съели поровну изюминок и ни одну булочку на части не делили. Сколько изюминок мама могла положить в четвёртую булочку? Укажите все варианты.
5.Большую звезду разбили на треугольники с периметрами 9, четырёхугольники с периметрами 21 и маленькую звёздочку с периметром 4. Найдите периметр исходной звезды.
6.В феврале невисокосного года Вова решил есть мороженое по правилам. Если число было чётное, а день недели — среда или четверг, то он съедал по пять порций мороженого. Если же день недели — понедельник или вторник, а число нечётное, то он съедал по три порции мороженого. Если день недели — пятница, то число съеденных им порций равнялось числу на календаре. В остальные дни и при других условиях мороженое было запрещено. Какое наибольшее число порций мороженого мог съесть Вова за февраль при таких условиях?
7.Белый квадрат разбили на квадраты поменьше нескольких размеров, часть из них закрасили чёрным. Площадь белой части квадрата равна 180. Найдите площадь чёрной части квадрата.
8. Таня учится считать и выписывает подряд идущие натуральные числа по спирали, как показано на рисунке. Какое число будет записано ровно над числом 1600?
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 6 класс Сириус
1. Миша и Гриша пишут на доске числа. Миша пишет тройки, а Гриша —— пятёрки. Всего они записали 20 чисел. Сколько было записано пятёрок, если сумма всех чисел равна 94?
2.У продавца есть гирьки весом 1, 2, 4, 8, 16, 32 грамма (каждой по одной) и чашечные весы. На первую чашу положили конфету весом 21 грамм и какие‑то три гирьки, на вторую — три оставшиеся гирьки, причём весы пришли в равновесие. Укажите веса всех трёх гирек, лежащих на второй чаше.
3.Пять одинаковых квадратов, стоящих в ряд, разрезали двумя горизонтальными прямыми. Сумма периметров получившихся 15 прямоугольников равна 920 см. Чему равна сторона исходных квадратов в сантиметрах?
4.В ряд выстроились 67 человек — каждый или рыцарь, всегда говорящий правду, или лжец, который всегда говорит неправду. Один из стоящих рыцарей сказал, что стоит рядом с рыцарем и лжецом, и все остальные 66 человек повторили его фразу. Укажите, сколько среди всех 67 человек было рыцарей.
5.В ряд стоят 23 спичечных коробка, в каждом лежит некоторое количество спичек. Известно, что в любых четырёх подряд стоящих коробках в сумме 40 спичек, а во всех — в сумме 235. Сколько спичек в восьмом по счёту коробке?
6.Из города A в город B с равными скоростями, но в разное время вышли Арина и Аркадий. Из города B в город A по той же дороге вышли с одинаковыми скоростями Эмилия и Эдуард. Известно, что Аркадий встретил Эмилию в 13 часов, а Эдуарда в 16 часов. Арина встретила Эмилию в 15 часов. Во сколько часов Арина встретит Эдуарда?
7.Некоторое число записали на доске, умножили на 6, стёрли последнюю цифру, умножили на 9, снова стёрли последнюю цифру и получили 5. Какие числа могли быть записаны изначально?
8. В ячейки изображённой на рисунке фигуры записали без повторения числа от 7 до 20. Затем посчитали значения сумм во всех 10 прямоугольниках 1×3 и их сложили. Оказалось, что расположение чисел даёт наибольшее значение данной суммы. Чему может равняться сумма чисел в выделенных ячейках?
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 7 класс Сириус
1.Какие цифры надо вставить вместо звёздочек в десятичную запись 4⋆⋆1⋆ 53 ⋆ (вместо каждой звёздочки — ровно одну цифру), чтобы получившееся число было минимально возможным и делилось на 18? В ответ запишите полученное число.
2.В ряд расставлены натуральные числа от 4 до 12 в каком‑то порядке. Оказалось, что сумма первых семи чисел равна 53, а сумма средних семи чисел (т.е. без первого и последнего) равна 61. Какое число стоит на первом месте?
3.Согласно календарю марсиан, год состоит из 669 марсианских суток и делится на 12 месяцев (называемых так же, как и у нас). Три месяца в году (январь, май и сентябрь) — антивисокосные, в них 55 дней. В обычном же месяце 56 дней. В неделе у марсиан, как и у нас, семь дней. Однажды марсианин Ляпа заметил, что 13 мая пришлось на пятницу. В каком месяце 13 число придётся на пятницу в следующий раз?
4.На уроке математики Аня, Боря и Влад стали закрашивать клеточки с постоянной скоростью (но каждый со своей). Аня и Влад начали одновременно, а Боря присоединился потом — в тот момент, когда Аня закрасила 20 клеточек, а Влад — 32 клетки. Через некоторое время выяснилось, что Влад закрасил 56 клеточек, и Аня с Борей вместе — тоже 56. А к концу урока оказалось, что Аня с Борей закрасили поровну клеточек. Сколько клеток закрасил каждый из них?
5.Даны три четырёхзначных числа. Если в них все нечётные цифры заменить на 1, то сумма полученных чисел будет равна 6458. А если заменить на 1 все чётные цифры, то сумма чисел составит 5533. Чему на самом деле равна сумма данных чисел?
6.На конференцию приехали 120 человек. Каждый из них либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжёт (те и другие присутствуют). Их распределили на несколько секций так, чтобы во всех было равное количество участников. Каждый из людей сказал: «Кроме меня, в моей секции поровну рыцарей и лжецов». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть?
7.Флаг Панбалтии представляет собой прямоугольное полотно 100×150 см с белым крестом (горизонтальная и вертикальная линии одинаковой толщины), разбивающим зелёный фон на четыре прямоугольника (см. рисунок). Оказалось, что сумма периметров этих прямоугольников в 1.6 раз больше периметра креста. Найдите толщину креста. Ответ выразите в сантиметрах.
8. Из квадрата вырезали пять клеток, после чего оказалось, что существует 2710 способов вырезать полоску 1×3 (полоски бывают как горизонтальные, так и вертикальные). Найдите сторону квадрата.
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 8 класс Сириус
1.Гирьки с весами 1,2,3,5,7,16 граммов разложили на две кучки с равными весами. В первой из них две гири, во второй — четыре гири. Какие две гири лежат в первой кучке?
2.В ряд выписаны все натуральные числа без пробелов: 12345678910111213. Какой по счёту цифрой от начала является двенадцатая девятка?
3.Из клетчатого квадрата со стороной 35 вырезали прямоугольник 31×32, примыкающий к одному из углов квадрата. Владик хочет в оставшемся куске закрасить пятиклеточный крестик. Сколькими способами он это может сделать?
4.Каждый вечер, начиная с первого сентября, маленький Антоша съедал по пирожному. После очередного пирожного он заметил, что за всё это время съел 10 вкусных пирожных (остальные ему показались невкусными). Но среди любых семи подряд съеденных пирожных не менее трёх оказывались вкусными. Какое наибольшее количество пирожных мог съесть Антоша?
5.Найдите наименьшее натуральное n такое, что натуральное n2+12n+11 делится на 92.
6.Второго сентября Карлсон съел 8 банок варенья, а начиная с третьего сентября ел каждый день столько, сколько уже съел в среднем за сентябрь. Двенадцатого сентября Карлсон съел 27 банок варенья. Сколько банок варенья он съел первого сентября?
7.В четырёхугольнике ABCD AB=BC=CD. Пусть E — точка пересечения AB и CD (B между A и E). Оказалось, что AC=CE и ∠BEC=40∘. Найдите ∠BDC.
8. Есть 8 прямоугольных листов бумаги. За каждый ход выбирается один из листов и делится прямолинейным разрезом, не проходящим через вершины, на два листа. После 70 ходов оказалось, что все листки — треугольники или шестиугольники. Сколько треугольников?
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 9 класс Сириус
1.Группа туристов вышла на маршрут со стоянки. Через 15 минут турист Иван вспомнил, что забыл на стоянке фонарик, и пошёл за ним обратно со скоростью большей, чем у основной группы. Забрав фонарик, он стал догонять группу с той же повышенной скоростью и сделал это только спустя 1 час после того, как ушёл за фонариком. Считая скорости движения группы и Ивана вне группы постоянными, найдите, во сколько раз скорость Ивана больше скорости группы. Ответ запишите целым числом или десятичной дробью.
2.У Марфы‑рукодельницы в шкатулке лежит много булавок. В первый раз она достала оттуда три булавки, а в каждый последующий — на k булавок больше, чем в предыдущий. Оказалось, что в девятый раз она достала больше 65 булавок, а в тринадцатый — меньше 115. Запишите все возможные k.
3.К описанной около треугольника FDC окружности проведена касательная FK, причём ∠KFC=66∘. Точки K и D лежат по разные стороны от прямой FC, как и показано на рисунке. Найдите острый угол между биссектрисами углов CFD и FCD. Ответ выразите в градусах.
4.Среди сорока девяти подряд идущих натуральных чисел ровно 7 делятся на 8 без остатка. Какой остаток при делении на 8 даёт одиннадцатое по счёту число?
5.Для действительных чисел a и b известно, что ab=8, 1a2+1b2=0.75. Запишите все возможные значения a+b.
6.Четыре шахматиста — Иванов, Петров, Васильев и Кузнецов — сыграли однокруговой турнир (каждый с каждым по одной партии). За победу даётся 1 очко, за ничью — по 0.5 каждому. Оказалось, что у занявшего первое место 3 очка, а у занявшего последнее — 0.5. Сколько существует вариантов распределения очков у названных шахматистов, если некоторые из них могли набрать равное количество очков? (Например, варианты, когда у Иванова — 3, а у Петрова — 0.5, и когда у Петрова — 3, а у Иванова — 0.5, считаются различными!).
7.По кругу стоят люди — лжецы, которые всегда врут, и рыцари, всегда говорящие правду. И каждый из них сказал, что из людей, стоящих с ним рядом, лжецов и рыцарей поровну. Сколько всего людей, если рыцарей 42?
8.Параллелограмм ABCD сложили по диагонали BD так, что вершина C осталась на месте, а вершина A заняла положение A′. Отрезки BC и A′D пересеклись в точке K, причём BK:KC=5:2. Найдите площадь треугольника A′KC, если площадь параллелограмма ABCD равна 42.
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 10 класс Сириус
1.В велогонке Петя и Вася стартовали одновременно. Вася всю гонку ехал с постоянной скоростью 15 км/ч. Петя первую половину дистанции ехал со скоростью 10 км/ч и отстал от Васи. Какой должна быть скорость Пети на второй половине дистанции, чтобы ему удалось догнать Васю и прийти к финишу одновременно с товарищем? Ответ выразите в км/ч.
2.На 43 клетки шахматной доски 8×8 положили по камню. Посчитали произведение количества камней, лежащих на белых клетках, и количества камней, лежащих на чёрных клетках. Найдите минимальное возможное значение этого произведения.
3.У Коли было 5 листов бумаги. На первом шаге он выбирает один лист и делит его на две части. На втором шаге — выбирает один лист из имеющихся и делит его на 3 части, на третьем шаге — выбирает один лист из имеющихся и делит его на 4, и т.д. После какого шага количество листов впервые превзойдёт 400?
4.Случайным образом выбирается двузначное натуральное число вида ab от 21 до 45 (вероятность выбора одна и та же для всех чисел). Вероятность того, что число a8573b будет делиться на 6, равна n процентов. Найдите n.
5.В трапеции ABCD: ∠A=∠B=90∘, AD=27√, AB=21√, BC=2. Какое наименьшее значение может принимать сумма длин XA+XB+XC+XD, где X — произвольная точка плоскости?
6.На параболе y=x2−6x+4 взяты три различные точки A(xa,ya), B(xb,yb), C(xc,yc). Известно, что xc=9 и ya=yb. Найдите абсциссу точки пересечения медиан треугольника ABC.
7.В ряд выписаны числа 8.411 √, 8.412 √, 8.413 √, …, 16.001 √, 16.002 √ (под знаком корня — последовательные члены арифметической прогрессии с разностью 0.001). Найдите количество рациональных чисел среди выписанных.
8. 56 вершин правильного 2800-угольника покрашены красным так, что покрашенные вершины являются вершинами правильного 56-угольника. Сколькими способами можно выбрать 35 вершин данного 2800-угольника так, чтобы они являлись вершинами правильного 35-угольника и ни одна из них не была красной?
Школьный этап 2022 олимпиада по математике 11 класс Сириус
1.При каком наименьшем натуральном значении b уравнение x2−bx+36=0 имеет хотя бы один корень?
2.Каждый месяц Иван платит фиксированную сумму из своей зарплаты за ипотеку, а остальная часть зарплаты тратится на текущие расходы. В декабре Иван заплатил за ипотеку 25 % своей зарплаты. В январе зарплата Ивана увеличилась на 9 %. На сколько процентов в январе увеличилась сумма, потраченная на текущие расходы (по сравнению с декабрьской)?
3.Известно, что площадь закрашенной области фигуры равна 32π, а радиус меньшей окружности в 3 раза меньше радиуса большей окружности. Чему равна длина меньшей окружности?
4.В произведении 24a⋅25b⋅26c⋅27d⋅28e⋅29f⋅30g вместо семи показателей a, b, c, d, e, f, g поставили в некотором порядке семь чисел 1, 3, 4, 6, 8, 9, 13. Найдите наибольшее количество нулей, на которые может заканчиваться десятичная запись этого произведения.
5.На рисунке изображён график функции y=(x+a)(x+b)(x+c)2(x+d)(x+e). Открыть изображение в отдельном окне. Сколько среди чисел a,b,d,e положительных?
6.Геометрическая прогрессия b1, b2,…; такова, что b22=2 tg α, b26=2sinα для некоторого острого угла α. Найдите номер n, для которого bn=sin2α.
7.Дан прямоугольный параллелепипед 3×5×2–√. Какое наименьшее значение может принимать сумма расстояний от произвольной точки пространства до всех восьми его вершин?
8. Пусть n=36500. Среди вершин правильного n-угольника A1, А2 .. ; An красным цветом покрашены вершины Ai, для которых номер i является степенью двойки, т.е. i=1, 2, 4, 8, 16,….; Сколькими способами можно выбрать 500 вершин данного n-угольника так, чтобы они являлись вершинами правильного 500-угольника и ни одна из них не была красной?