47 Турнир имени Ломоносова по математике задания с ответами и решением 2024-2025
Варианты заданий, ответы и решения для 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса 47-го турнира имени Ломоносова по математике 2024-2025 учебный год, дата проведения турнира в онлайне на официальном сайте: 6.10.2024 (6 октября 2024 год) и заключительного этапа: 22 марта 2025. У данного турнира 2 и 3 уровень в перечне олимпиад школьников.
Задания отборочного этапа: скачать
Ответы и решение отборочного этапа: скачать
Задания заключительного этапа: скачать
Решение заключительного этапа: скачать
На Турнире Ломоносова участникам предлагаются задания по следующим предметам: астрономия и науки о Земле, биология, история, лингвистика, литература, математика, физика, химия. Грамоты могут быть выданы как за выдающиеся результаты в одном предмете, так и за значительные успехи в нескольких предметах.
Задания отборочного этапа 47 Турнир имени Ломоносова
Загрузка...
Перезагрузить документ
Открыть в новой вкладке 1 (6-7; ответ). Среди своих старых рисунков Катя нашла несколько картинок с разноцветным зонтиком. Катя помнит, что рисовала один и тот же зонтик (вид сверху), только повёрнутый по-разному. К сожалению, от времени краска частично выцвела. Помогите Кате восстановить, в каком порядке располагались цвета на зонтике, если идти от 1 (розового) по часовой стрелке. Форма ответа: расположить в нужном порядке 2 (голубой), 3 (красный), 4 (фиолетовый), 5 (оранжевый), 6 (синий), 7 (жёлтый), 8 (зелёный).
2 (6–7; ответ). В ребусе ТУР + ТУР + ТУР + … + ТУР = ТУРЛОМ одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы заменяют разные цифры. Часть одинаковых слагаемых мы заменили многоточием. Сколько всего может быть ТУРов, чтобы ребус имел решение? Найдите наименьшее и наибольшее количества. Форма ответа: 2 поля для ввода (натуральных) чисел: Наименьшее возможное количество ТУРов: Наибольшее возможное количество ТУРов.
3 (6–8; ответ). В спорткомплексе 99 шкафчиков с номерами от 01 до 99. На браслете с ключом цифры написаны по образцу на рисунке: По браслету непонятно, где низ, а где верх, и поэтому иногда нельзя однозначно определить номер своего шкафчика (например, браслеты, соответствующие номерам 10 и 01, выглядят одинаково). Мише выдали один из ключей. В скольких случаях из 99 он, посмотрев на браслет, не сможет однозначно определить номер своего шкафчика? Форма ответа: поле для ввода (натурального) числа.
4 (8–9; ответ). Правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных (красных) и одинаковых равнобедренных (зелёных) треугольников так, как показано на рисунке. Чему равна площадь правильного треугольника, если площадь зелёного треугольника равна 1? При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой. Форма ответа: поле для ввода (возможно, нецелого) числа.
5 (8–11; решение). По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на 10% больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.
6 (9–11; ответ). а) У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов против часовой стрелки и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка).
7 (10–11; решение). Петя покрасил 100 натуральных чисел в красный цвет и 100 других натуральных чисел — в синий. Вася выписал на доску 200 выражений: для каждого красного числа 𝑛 записал 𝑥 𝑛 1−𝑥 , а для каждого синего числа 𝑚 записал 𝑥𝑚 1−𝑥−1 . После этого мальчики сложили все записанные выражения, привели подобные и упростили выражение. Докажите, что у них получился многочлен от 𝑥.
8 (10-11; ответ). Таня сделала кошелёк из двух клетчатых кусочков ткани 8 × 10, наложив их друг на друга и сшив друг с другом края обеих пар коротких сторон и нижних длинных сторон (см. рисунок, слева сплющенный кошелёк, справа приоткрытый). Хулиган Вася сделал прямолинейный надрез на переднем слое ткани от одного узла сетки до другого. Но Таня не расстроилась, потому что смогла сложить из надрезанного кошелька кулёк (в сплющенном виде это двуслойный треугольник, не обязательно равнобедренный, нескреплённые стороны совпадают — пример кулька в сплющенном и в приоткытом виде см. на рисунке ниже).
Задания заключительного этапа по математике
Загрузка...Задание 1. Про действительные числа a, b, c, d известно, что ab = cd = 2025, a + c = b + d, a + b ̸= c + d. Чему может быть равно значение a + b + c + d?
Задание 2. Пусть n > 3 — натуральное число. Сколько существует способ выбрать два не пересекающихся прямоугольника внутри квадрата n × n, идущих по линиям сетки? Прямоугольники пересекаются, если у них есть хотя бы одна общая внутренняя клетка или общая точка на границе. В записи ответа допустимы только четыре арифметические операции, возведение в степень, взятие факториала и стандартных комбинаторных величин, там не должно содержаться многоточий и число использованных операций не должно зависеть от n.
Задание 3. В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA1, BB1, CC1. Известно, что расстояние от точки A до BC и B1C1 равны 24 и 20 соответственно. Найдите периметр треугольника A1B1C1.
Задание 4. Множество натуральных чисел M назовём хорошим, если выполнены следующие два условия: (i) M содержит все натуральные числа, меньшие 2025; (ii) если n ∈ M, то в M лежат все члены арифметической прогрессии, первый член которой равен n, а разность равна n + 1. Верно ли, что для любого хорошего множества M существует такое натуральное число N, что в M лежат все натуральные числа, не меньшие N?
Задание 5. Пусть Sn — множество всех возможных биекций множества {1, 2, . . . , n} в себя. Для любых U, V , W ⊂ Sn обозначим через NUV W количество способов выбрать f ∈ U, g ∈ V , h ∈ W так, что f(g(h(x))) — тождественное отображение, т.е. для любого k ∈ {1, 2, . . . , n} выполнено f(g(h(k))) = k. Пусть A, B, C таковы, что A ∪ B ∪ C = Sn и A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ∅. Докажите, что NABC = NCBA.
Смотрите на сайте
Ответы и задания для турнира Ломоносова по истории 5-11 класс 6 октября 2024