Избранные задачи окружных олимпиад по математике в Москве Блинков А.Д
В этот сборник включены избранные задачи окружных олимпиад по математике в г. Москве за последние тринадцать лет (условия и решения).
Ссылка для скачивания сборника задач: скачать сборник
Для удобства использования задачи разбиты по темам.Отметим, что это разбиение носит условный характер, так как в ряде случаев задачу можно отнести к нескольким темам, но оно позволит читателю легче ориентироваться в предложенном материале.
Избранные задачи окружных олимпиад по математике Блинков А.Д:
Интересные олимпиадные задачи (ответы опубликованы в конце сборника):
1)Петя тратит треть своего времени на школу, пятую часть – на игру в футбол, шестую часть – на телевизор, седьмую часть – на решение задач по математике и треть – на сон. Можно ли так жить?
2)После возвращения цирка с гастролей знакомые расспрашивали дрессировщика Казимира Алмазова о «пассажирах» его автофургона: «Тигры были?» –«Да, причём их было в семь раз больше, чем не тигров». «А обезьяны?» – «Да, их было в семь раз меньше,чем не обезьян». «А львы были?» Ответьте за Казимира Алмазова.
3)Будильник спешит на 9 минут в сутки. Ложась спать в 22:00, на нём установили точное время. На какое время надо за-вести звонок, чтобы будильник зазвенел ровно в 6:00?
4)На вопрос о возрасте его детей математик ответил:«У нас с женой трое детей. Когда родился наш первенец, суммарный возраст членов семьи был равен 45 годам, год назад, когда родился третий ребёнок, – 70 годам, а сейчас суммарный возраст детей –14 лет». Сколько лет каждому ребёнку, если известно, что у всех членов семьи дни рождения в один и тот же день?
5)Остап Бендер и Киса Воробьянинов разделили между собой выручку от продажи слонов населению. Остап подумал: если бы я взял денег на 40%больше, то доля Кисы уменьшилась бы на 60%. А как изменилась бы доля Воробьянинова, если бы Остап взял себе денег на 50% больше?
6)Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек,и двоек столько же, сколько Вася пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?
7)Туристическая фирма провела акцию: «Купи путёвку в Египет, приведи четырёх друзей, которые также купят путёвку, и по-лучи стоимость путёвки обратно». За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по 4 новых клиента, а остальные 100 не привели ни-кого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно?
8)Из четырёх цифр, отличных от нуля, составили два четырёхзначных числа: самое большое из возможных и самое маленькое. Сумма получившихся чисел оказалась равна 11990. Какие числа могли быть составлены?
9)Существует ли натуральное число, кратное 2007, сумма цифр которого равна 2007?
10)Назовём натуральное семизначное число «удачным»,если оно делится на произведение всех своих цифр. Существуют ли четыре последовательных «удачных» числа?
11)Произведение двух чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите их сумму.
12)Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно выбрать так, чтобы сумма любых трёх из них была простым числом?
13)На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.
14)Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов чётно. Один из столбов покрашен в жёлтый цвет, другой в синий, а остальные в белый. Назовём расстоянием между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до жёлтого, если сумма расстояний от синего столба до белых равна 2008 км.
15)В классе 25 учеников. Известно, что у любых двух девочек класса количество друзей-мальчиков из этого класса не совпадает.Какое наибольшее количество девочек может быть в этом классе?