18 октября 2023 Ответы для 7-11 классов олимпиада по математике Сириус школьный этап 2023 ВСОШ
Задания и ответы для 7, 8, 9, 10, 11 класса школьного этапа 2023 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ Сириус по математике 1 группы регионов, для тех, кто пишет 18 октября 2023. Решение задачи проходит на сайте uts.sirius.online.
Все ответы и решения для заданий: скачать
Ответы для 7 класса олимпиада по математике Сириус
Задание 1. Найдите сумму: 123−125+127−129 +…− 2021+2023
Задание 2. Алиса вычислила сумму всех трёхзначных чисел, начинающихся с девятки, а Боб —— сумму всех трёхзначных чисел, начинающихся с единицы. На сколько сумма у Алисы больше суммы у Боба?
Задание 3. Аня вырезала из бумаги прямоугольник с периметром 70 см, а Маня разрезала его на пять прямоугольников с одинаковым периметром. Сумма длин всех разрезов равна 50 см. Чему равен периметр каждого из пяти получившихся прямоугольников?
Задание 4. Кот Матроскин вышел из Простоквашино в Сметанино, чтобы прийти туда через 4 часа. Одновременно из Сметанино на велосипеде выехал Шарик, который проезжает это расстояние за 1 час. Через 48 минут после их встречи из Сметанино в Простоквашино выехал дядя Фёдор, который проезжает весь путь за 2 часа. За сколько минут до своего прибытия в Сметанино Матроскин встретится с дядей Фёдором?
Задание 5. При покупке шляпы Незнайка смог расплатиться, используя только монеты достоинством в 7 и 11 сантиков. Если бы шляпа стоила на сантик дороже, то он бы не смог расплатиться без сдачи только такими монетами. Чему равна наибольшая возможная цена шляпы?
Задание 6. В шестизначном натуральном числе стёрли последнюю цифру и полученное число сложили с исходным. В результате получилось 380239. Найдите исходное число.
Задание 7. Калькулятор Незнайки испортился и перестал показывать цифры 4 и 5 (например, если Незнайка вводит число 723425, то на дисплее отобразится 7232). Незнайка ввёл шестизначное число, и на дисплее появилось число 2233, после чего Знайка выписал на доску все числа, которые мог ввести Незнайка. Сколько чисел выписано на доску?
Задание 8. В клубе бизнесменов состояния у всех членов клуба различны и измеряются натуральным числом тугриков. Два бизнесмена дружат, если состояние каждого из них делится на разность их состояний. Какое максимальное число друзей может быть у бизнесмена с состоянием 9100 тугриков?
Ответы для 8 класса олимпиада по математике Сириус
Задание 1. Вначале цистерна с водой была на 35 % пуста. Когда из неё вылили 9000 литров воды, она стала на 35 % полной. Определите ёмкость цистерны. Ответ выразите в литрах.
Задание 2.Найдите наименьшее натуральное число с суммой цифр 29, в записи которого есть цифра 7.
Задание 3. Про прямоугольный треугольник ABC известно, что ∠A=18∘, ∠C=90∘. Найдите острый угол между биссектрисой, проведённой из угла B, и медианой, проведённой из угла C.
Задание 4. За круглым столом сидят 270 человек: рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Для каждого человека его окружение состоит из четырёх человек: двоих, сидящих справа от него, и двоих —— слева. Каждый из сидящих за столом сделал заявление: «В моём окружении поровну рыцарей и лжецов». Какое наибольшее количество рыцарей могло находиться за столом?
Задание 5. Чебурашка проснулся между девятью и десятью часами и заметил, что часовая стрелка его будильника делит пополам угол между минутной стрелкой и показывающей на число 10 стрелкой звонка. Через сколько минут должен прозвенеть звонок?
Задание 6. Из клетчатого прямоугольника m×n (m>2, n>2) можно 95 способами вырезать клетчатый квадрат 2×2. Каков периметр этого прямоугольника?
Задание 7. У Гэндальфа есть коробка, в которой лежат конфеты семи сортов. При каком наименьшем количестве конфет в коробке он может гарантированно (т. е. независимо от распределения конфет по сортам) выдать из коробки каждому из семи гномов по семь конфет одного сорта? (У разных гномов сорта полученных конфет могут отличаться друг от друга.)
Задание 8. 10000 точек расположены на прямой так, что расстояния между двумя соседними одинаковы, и пронумерованы по порядку. Точка под номером 1 покрашена в чёрный цвет, а точка под номером 1351 —— в красный. Алиса хочет покрасить в чёрный цвет ещё несколько точек так, чтобы выполнялись два условия:
- Расстояния между соседними чёрными точками были одинаковы;
- Красная точка должна располагаться ровно посередине между двумя соседними чёрными.
Сколькими возможными способами Алиса может выбрать расстояние между соседними чёрными точками?
Ответы для 9 класса олимпиада по математике Сириус
Задание 1
Хоккейный матч состоит из трёх равных по игровому времени периодов. «Вымпел» на протяжении всей игры владел шайбой 46 процентов времени, а за последние два периода —— 52 процента времени. Сколько процентов времени «Вымпел» владел шайбой в первом периоде?
Задание 2
Арифметическая прогрессия a1,a2,…,a72 имеет разность d=3. Найдите значение выражения −a1−a2+a3+a4−a5−a6+a7+a8−…−a69−a70+a71+a72..Выражение начинается с двух слагаемых со знаком «минус», затем два слагаемых со знаком «плюс» и т.д.
Задание 3
Вася расставил в некоторые k клеток шахматной доски 8×8 по ладье. Оказалось, что на доске ровно 15 клеток, которые не бьёт ни одна ладья. Найдите наибольшее возможное k.
Ладья бьёт все клетки своего столбца и своей строки.
Задание 4
На место каждой из двух звёздочек в числе 75∗631∗ ставят любую из десяти цифр (с одинаковой вероятностью). Найдите вероятность того, что полученное семизначное число делится на 15. Ответ выразите в процентах.
Задание 5
Окружность ω ограничивает круг площади 81π. Внутри окружности ω расположены две окружности ω1 и ω2, касающиеся ω и касающиеся друг друга внешним образом (см. рисунок). Найдите периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей ω, ω1 и ω2.
Задание 6
В окружности проведены 22 диаметра, причём среди них нет двух перпендикулярных. Все их концы покрасили синим, а центр окружности —— красным. Найдите количество тупоугольных треугольников, у которых одна вершина красная и две вершины —— синие.
Задание 7
Дано произведение нескольких натуральных чисел. Если в этом произведении один из множителей увеличить на число k, то произведение увеличится в 22 раза. А если в этом произведении другой сомножитель увеличить на число k, то произведение увеличится в 16 раз.
При каком наименьшем k такое возможно?
Задание 8
Парабола y=x2+x+c (где c —— некоторое число) пересекает параболу y=−x2+25x в точках A и B. Найдите абсциссу середины отрезка AB.
Ответы для 10 класса олимпиада по математике Сириус
Задание 1
Хоккейный матч состоит из трёх равных по игровому времени периодов. «Вымпел» на протяжении всей игры владел шайбой 46 процентов времени, а за последние два периода —— 52 процента времени.
Сколько процентов времени «Вымпел» владел шайбой в первом периоде?
Задание 2
Арифметическая прогрессия a1,a2,…,a72имеет разность d=3. Найдите значение выражения
−a1−a2+a3+a4−a5−a6+a7+a8−… −a69−a70+a71+a72.
Выражение начинается с двух слагаемых со знаком «минус», затем два слагаемых со знаком «плюс» и т.д.
Задание 3
Вася расставил в некоторые k клеток шахматной доски 8×8 по ладье. Оказалось, что на доске ровно 15 клеток, которые не бьёт ни одна ладья. Найдите наибольшее возможное k.
Ладья бьёт все клетки своего столбца и своей строки.
Задание 4
На место каждой из двух звёздочек в числе 75∗631∗ ставят любую из десяти цифр (с одинаковой вероятностью). Найдите вероятность того, что полученное семизначное число делится на 15. Ответ выразите в процентах.
Задание 5
Окружность ω ограничивает круг площади 81π. Внутри окружности ω расположены две окружности ω1 и ω2, касающиеся ω и касающиеся друг друга внешним образом (см. рисунок). Найдите периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей ω, ω1 и ω2.
Задание 6
В окружности проведены 22 диаметра, причём среди них нет двух перпендикулярных. Все их концы покрасили синим, а центр окружности — красным. Найдите количество тупоугольных треугольников, у которых одна вершина красная и две вершины — синие.
Задание 7
Дано произведение нескольких натуральных чисел. Если в этом произведении один из множителей увеличить на число k, то произведение увеличится в 22 раза. А если в этом произведении другой сомножитель увеличить на число k, то произведение увеличится в 16 раз.
При каком наименьшем k такое возможно?
Задание 8
Парабола y=x2+x+c (где c — некоторое число) пересекает параболу y=−x2+25x в точках A и B. Найдите абсциссу середины отрезка AB.
Ответы для 11 класса олимпиада по математике Сириус
Задание 1. При каком значении y достигается наименьшее значение выражения (y−3x)2+x2−6x+9?
Задание 2. Паша и Вова одновременно стартовали в велогонке. Паша проехал всю дистанцию с постоянной скоростью и приехал к финишу ровно через 1 час 12 минут после старта. Вова первую половину дистанции ехал со скоростью, на 20 процентов превышающей скорость Паши, а вторую половину дистанции — со скоростью на 20 процентов меньше скорости Паши. На сколько минут позже Паши финишировал Вова?
Задание 3. Пусть N — наименьшее натуральное число с суммой цифр 419. Найдите сумму цифр числа 4N.
Задание 4 На плоскости нарисован правильный 95-угольник. Синим цветом покрасили его вершины, а красным — его центр. Найдите количество остроугольных треугольников, у которых одна вершина красная и две вершины синие.
Задание 5
Внутри окружности Ω1 лежит окружность Ω2, а окружность ωω касается окружности Ω1 внутренним образом и Ω2 — внешним образом (см. рисунок).
Найдите периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей ω, Ω1 и Ω2, если известно, что диаметры окружностей Ω1 и Ω2 равны 24 и 8, а расстояние между их центрами равно 2.
Задание 6 Гипербола y=3/(3x−7)+c (где c — некоторое ненулевое число) пересекает гиперболу y=3/(3x−23) в точках A и B. Найдите абсциссу середины отрезка AB.
Задание 7. Дана геометрическая прогрессия, в которой количество членов кратно 6. Известно, что сумма всех её членов с номерами, кратными 3, равна 144, а сумма всех её членов с номерами, кратными 6, равна 128. Чему равна сумма всех членов этой прогрессии?
Задание 8. Кусок сыра имеет форму пирамиды ABCD. Через точку E ребра CD провели два плоских разреза (см. рисунок): плоскостью, параллельной грани ABC, отрезали кусок в виде пирамиды массой m1=40 граммов, а плоскостью, параллельной грани ABD, отрезали кусок в виде пирамиды массой m2=625 граммов. Найдите массу исходного куска. Ответ выразите в граммах.
