20 октября 2023 Ответы для 7, 8, 9, 10, 11 классов олимпиада по математике Сириус школьный этап 2023 ВСОШ
Задания и ответы олимпиады по математике для 7, 8, 9, 10, 11 класса Сириус школьного этапа 2023 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ 3 группы регионов, для тех, кто пишет 20 октября 2023. Решение задачи проходит на официальном сайте Сириус курсы uts.sirius.online.
Все ответы и решения для заданий: скачать
Олимпиада по математике 7 класс ответы и задания
Задание 1. До 268 года до нашей эры в Древнем Риме было шесть основных монет:
- Унция (монета номиналом 1 унция)
- Секстанс (монета номиналом 2 унции)
- Квадранс (монета номиналом 3 унции)
- Триенс (монета номиналом 4 унции)
- Семис (монета номиналом 6 унций)
- Асс (монета номиналом 12 унций)
Однажды римлянин Публий взял с собой по две монеты каждого из шести номиналов (всего —— 12 монет) и отправился на рынок. Сколькими способами он сможет без сдачи оплатить своими монетами покупку стоимостью 46 унций? Монеты одного номинала считайте одинаковыми.
Задание 2. Прямоугольник 4×7, показанный на рисунке, разрезали на трёхклеточные () и четырёхклеточные () уголки. Какое наибольшее число трёхклеточных уголков могло получиться? При разрезании фигуры можно поворачивать и переворачивать.
Задание 3. Ответственные вожатые Алина, Оля, Таня, Рита, Борис, Всеволод, Григорий и Николай приехали в математический лагерь и решили составить расписание дежурства. На каждый день ребятам нужно выбрать из своего состава двух дежурных, один из которых будет будить детей, а другой —— вести зарядку. В этой паре дежурных обязательно должна быть хотя бы одна девушка, чтобы разбудить комнату девочек-школьниц. Какое максимальное количество дней вожатые смогут дежурить, так чтобы никакая пара человек не дежурила больше одного раза?
Задание 4. В ряд выложены 10 спелых апельсинов так, что из любых двух лежащих рядом апельсинов левый легче правого ровно на 20 граммов. Чебурашка съел самый большой апельсин, и суммарный вес апельсинов уменьшился на 12%.
Чему равен вес самого маленького из этих апельсинов? Ответ выразите в граммах.
Задание 5. Четыре юных художника —— Гриша, Никита, Егор и Сева —— нарисовали по одной картине и решили отправить их на выставки. К сожалению, все выставки проходили одновременно, поэтому каждый мальчик успел побывать ровно на одной из них, после чего все четверо собрались вместе, и каждый сделал заявление о картинах друзей.
Гриша: «Я видел картин меньше, чем Никита».
Никита: «Количество картин, которые я видел, не равно двум».
Егор: «Я видел те же картины, что и Никита».
Сева: «На выставке я видел Гришу и его картину».
Учитывая то, что каждый из мальчиков любовался собственной картиной, пока рисовал, определите, кто из них какие картины видел. В ответе для каждого из ребят нужно отметить только картины других мальчиков; если же юный художник видел только свою картину, выберите вариант «Свою и только свою». Все мальчики говорят правду!
Гриша видел Выбрать: картину Никиты/ картину Егора/ картину Севы/ свою и только свою картину
Никита видел
Выбрать: картину Гриши/ картину Егора/ картину Севы/ свою и только свою картину
Егор видел
Выбрать: картину Никиты/ картину Гриши/ картину Севы/ свою и только свою картину
Сева видел
Выбрать: картину Никиты/ картину Егора/ картину Гриши/ свою и только свою карти
Задание 6. Точки А и Б соединены прямой дорогой. Два курьера с постоянными скоростями, каждый —— со своей, одновременно выходят навстречу друг другу (первый —— из точки А, второй —— из точки Б). Каждый из них, дойдя до конца дороги (первый —— до точки Б, а второй —— до точки А), мгновенно разворачивается и идёт обратно. В первый раз они встретились на расстоянии 550 метров от точки А. Вторая встреча произошла после того, как они оба развернулись, и случилась на расстоянии 400 метров от точки Б. Найдите расстояние между точками А и Б. Ответ выразите в метрах. Курьеры движутся без остановок.
Задание 7. Вася разрезал квадрат со стороной 7 на прямоугольники пятью разрезами: четырьмя вертикальными и одним горизонтальным, как показано на рисунке.
Чему равна сумма периметров получившихся у Васи десяти маленьких прямоугольников?
Задание 8. Аня задумала натуральное число X, умножила его на 60, потом прибавила 5, домножила получившееся на 2, прибавила 3 и затем результат умножила ещё и на 3. У получившегося у неё числа Аня посчитала сумму цифр.
Какая сумма цифр у неё могла получиться? Выберите все подходящие варианты:
17
18
19
20
21
Олимпиада по математике 8 класс ответы и задания
Задание 1 Сосна растёт в 3 раза быстрее, чем клён. Известно, что сейчас клён в 4 раза выше сосны. Через 2 года клён будет в 3 раза выше, чем сосна. Через сколько лет, считая от сегодняшнего дня, они сравняются в росте?
Задание 2 Баба‑Яга учит своего Кота готовить зелье. Для приготовления зелья нужно взять 20 граммов экстракта из пиявок и смешать его с водой. Баба‑Яга и Кот взяли для своих зелий одинаковое количество воды, но Кот по неосторожности расплескал часть своей воды, пока наливал её в экстракт пиявок. Из-за этого у Кота получился раствор с концентрацией 8%, в то время как у Бабы‑Яги вышел раствор с концентрацией 5 %. Сколько граммов воды расплескал Кот?
Задание 3 В треугольнике ABC провели медиану BM и биссектрису BK (точка K лежит между точками M и C). Оказалось, что треугольники CBK и BKM —— равнобедренные с основаниями BC и BM соответственно. Найдите сумму углов BMK и BCK. Ответ выразите в градусах.
Задание 4 Каждая уважающая себя кошка должна каждый день выполнять следующие действия:
- Поспать на хозяйском диване;
- Съесть курицу со стола;
- Громко помяукать, чтобы все соседи её услышали;
- Поточить когти о хозяйский диван;
- Разбить вазу или кружку;
- Поохотиться за своим хвостом;
- Попить воду из крана.
Для уважающей себя кошки Матильды неважен порядок этих действий. Тем не менее, она хочет громко помяукать раньше, чем попить воду (ей необязательно делать эти действия подряд). Сколькими способами кошка Матильда сможет составить своё расписание дел на день, если каждое из перечисленных действий она хочет выполнить ровно один раз?
Задание 5 Найдите наибольшее значение выражения −4y2+4xy−2×2+2x+10. Числа x и y принимают любые действительные значения.
Задание 6 Незнайка из пятизначного числа вычитает сумму его цифр и делит полученную разность на 33. Какое число у него могло получиться? Выберите все возможные варианты:
3210
15113
33309
99306
Задание 7. По периметру круглого пруда через равные интервалы растут 20 кувшинок. На одной из них сидит лягушка. Иногда ей кажется, будто к пруду подходит цапля, и тогда она испуганно квакает и начинает прыгать по часовой стрелке, делая либо 15, либо 16 прыжков. Все прыжки —— одинаковые, и одним прыжком лягушка перемещается ровно на ближайшую по часовой стрелке кувшинку. После первого квакания лягушка сделала 15 прыжков, а после второго —— 16 прыжков. Через какое ещё наименьшее число кваканий лягушка могла оказаться на той кувшинке, на которой она сидела изначально?
Задание 8.Дан треугольник ABC, в котором угол A=50∘, угол B=70∘. На стороне BA от точки B отложили отрезок BM, равный BC, а на стороне CA от точки C отложили отрезок CK, равный BC. Найдите угол CKM. Ответ выразите в градусах.
Олимпиада по математике 9 класс ответы и задания
Задание 1 Два велосипедиста Петя и Вася ездят по круговой дорожке длиной 400 метров. Петя и Вася едут по дорожке в одном направлении с постоянными скоростями. Петя обогнал Васю в 13:06, а в следующий раз —— в 13:14.
Какое расстояние (по дорожке) было между Петей и Васей в 13:04? Укажите меньшее из двух чисел, ответ выразите в метрах.
Задание 2 Валентин выкладывает в ряд 7 фишек. Фишки чёрные с одной стороны и белые с другой. Вначале все фишки лежат чёрной стороной вверх. За один ход Валентин выбирает и переворачивает одну фишку и все фишки слева от неё. Какие из следующих ситуаций возможны ровно через три хода?
Задание 3 Для своего арт-проекта Иван разделил белый холст размером 40×50 см на прямоугольные области, как показано на рисунке, и нарисовал в каждой области чёрный треугольник.
Крайняя левая сторона каждого чёрного треугольника составляет ровно 20 см. Найдите площадь части холста, оставшейся белой. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.
Задание 4 В мешочке лежат карточки, на которых написаны числа от 1 до 200. На каждой карточке написано ровно одно число, каждое число от 1 до 200 написано ровно на одной карточке. Андрей и Борис по очереди вытягивают карточки одну за другой, пока мешочек не опустеет. В конце каждый из них складывает числа на своих карточках. Первое число, вытянутое Андреем, равно 7, а Борисом —— 160. На какое наибольшее число сумма Андрея может быть больше суммы Бориса?
Задание 5 На доске записано 83 различных натуральных числа. Ровно 75 из них делятся на 35, и ровно 53 —— на 25. Какое наименьшее значение может быть у самого большого из этих 83 чисел?
Задание 6 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке P. Точка X —— основание перпендикуляра из P на отрезок AB, а точка Y —— основание перпендикуляра из P на отрезок AD. Известно, что AX=3, BX=6, AY=2. Найдите DY2.
Задание 7 Для каких натуральных n выполнено неравенство 2390<nn<3320? В ответ запишите наименьшее и наибольшее значения, которые может принимать n.
Наименьшее значение:
Наибольшее значение:
Задание 8 Команды Науки, Спорта и Искусства договорились весь день играть в волейбол. В каждый момент времени одна команда отдыхает, а две другие играют между собой. Когда какая-то команда проигрывает, она садится отдыхать, а отдыхавшая команда играет партию с победившей. Первыми играют команды Науки и Спорта. В конце дня оказалось, что команда Спорта выиграла 26 раз, а команда Науки ——19.
Сколько раз могли встретиться команды Науки и Спорта? Укажите все возможные варианты.
Олимпиада по математике 10 класс ответы и задания
Задание 1. На пробковой доске Саша хочет разместить 66 бумажных кругов так, чтобы они располагались, как на схеме ниже.
Саша хочет прикрепить круги к доске с помощью канцелярских кнопок, причём он хочет, чтобы каждый круг был прикреплён хотя бы тремя кнопками. Какое наименьшее количество кнопок ему для этого понадобится?
Задание 2. На доске написано число 10. За одну операцию разрешается число n заменить либо на число n−8, либо на число n3. Какие из следующих чисел можно получить через несколько операций?
59
−24
−198
1110
168
Задание 3. Восемь школьников, среди которых Аня, Боря, Юля и Ян, играли в пинг‑понг. Каждый школьник сыграл с каждым другим ровно один раз. Аня и Боря выиграли по пять раз каждый. Какое наибольшее количество побед суммарно могли одержать Юля и Ян?
Задание 4. Назовём многоугольник, нарисованный на координатной плоскости, клетчатым, если каждая его сторона которого лежит на прямой вида x=k для некоторого целого k или y=k для некоторого целого k. Примеры клетчатых многоугольников на картинке ниже:
Окружность x2+y2=103 оказалась целиком внутри клетчатого многоугольника P. Какое наименьшее значение может принимать периметр многоугольника P?
Задание 5. В треугольнике ABC известны величины углов: ∠A=70∘, ∠B=54∘, ∠C=56∘. Окружность, проходящая через точки A и B, повторно пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q соответственно. Оказалось, что сумма AQ+BP принимает наименьшее возможное значение. Чему равен угол ∠BPQ? Ответ выразите в градусах.
Задание 6. На доске записаны несколько попарно различных натуральных чисел. Рома вычислил произведение двух наименьших чисел и получил 49. Затем он вычислил произведение двух самых больших чисел и получил 2703. Чему может быть равна сумма всех чисел на доске? Укажите все возможные ответы.
Задание 7. Квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) таковы, что P(x)⩽Q(x) тогда и только тогда, когда 6⩽x⩽9. Известно, что P(0)−Q(0)=243. Чему равно P(1)−Q(1)?
Задание 8. Яна придумала пятизначное число, и Тимофей хочет его угадать. За один вопрос Тимофей может назвать пятизначное число, и Яна скажет, сколько в нём верных цифр, т.е. цифр, которые тоже присутствуют в числе Яны, причём на том же самом месте, что и в числе Тимофея. Яна сказала, что в предложенном Тимофеем числе 64179 верны две цифры, а в числе 58230 —— три. Тимофей выписал все пятизначные числа, подходящие под ответы Яны. Чему равна сумма чисел, выписанных Тимофеем?
Олимпиада по математике 11 класс ответы и задания
Задание 1
Жора бежит дистанцию в 100 метров. Он стартует со скоростью один метр в секунду, но, к сожалению, довольно быстро утомляется. После каждых 11 метров пути Жора решает, что надо бежать в два раза медленней. Сколько секунд пройдёт, прежде чем Жора достигнет финиша?
Задание 2
График квадратного трёхчлена y=ax2+bx+c пересекает прямую y=c1 в точках (10, c1) и (20, c1), а прямую y=c2 —— в точках (7, c2) и (x0, c2). Найдите число x0.
Задание 3
Вершина C невыпуклого четырёхугольника ABCD лежит внутри треугольника ABD. Известно, что ∠ABD=∠BCD=90∘. Пусть M —— середина диагонали BD. Известно, что AM=3, CM=2. Найдите AD2.
Задание 4
Линейная функция p(x)=kx+l такова, что для некоторого действительного a выполнено p(a)=2, p(p(a))=18, p(p(p(a)))=178. .Найдите a.
Задание 5
В коробке лежат n шариков трёх цветов: красного, синего и зелёного. Если достать из неё любые 57 шариков, то среди них обязательно окажется по крайней мере 11 синих и хотя бы по 9 красных и зелёных. При каком наибольшем n такое возможно?
Задание 6
Сколькими способами квадрат 13×13 можно разбить на прямоугольники, среди которых есть по два вертикальных и по два горизонтальных прямоугольника 1×12, 1×10, ……, 1×2 и один квадрат 1×1?
Задание 7
Точка O —— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, все углы которого измеряются целым числом градусов. Точка X внутри треугольника такова, что CX⊥AB и ∠ABX:∠XBC=2:3. Оказалось, что точки B, O, X, C лежат на одной окружности. Какое наибольшее значение может принимать величина угла ∠A?
Напомним, что остроугольным называется треугольник, каждый угол которого строго меньше 90∘.
Задание 8
Для натуральных чисел a и b обозначим через f(a,b) наименьшее натуральное число c такое, что НОД(a,c)>1 и НОД(b,c)>1. Натуральные числа x, y и z таковы, то f(x,y)=303, f(y,z)=1111. Сколько значений может принимать f(x,z)?