19 октября 2023 Ответы для 7, 8, 9, 10, 11 классов олимпиада по математике Сириус школьный этап 2023 ВСОШ
Задания и ответы олимпиады по математике для 7, 8, 9, 10, 11 класса Сириус школьного этапа 2023 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ 4 группы регионов, для тех, кто пишет 19 октября 2023. Решение задачи проходит на официальном сайте Сириус курсы uts.sirius.online.
Все ответы и решения для заданий: скачать
Олимпиада по математике 7 класс ответы и задания
Задание 1. На столе лежат карточки с числами от 1 до 10. Даня и Даша выбрали себе по 3 карточки, и каждый из них перемножил свои три числа. Оказалось, что два этих произведения равны. Среди чисел Даши были 9 и 10. Найдите наибольшее из чисел Дани.
Задание 2. На плоскости из одной точки провели шесть лучей. Петя измерил все получившиеся углы, меньшие 180∘. Сколько среди них могло оказаться острых? Выберите все подходящие варианты из предложенных: Выбрать: 0/ 1/ 3/ 6/ 10/ 12/ 15/ 18
Задание 3. В школе проходят кружки по робототехнике, рисованию и футболу. Каждый ученик 7«Ю» посещает один или несколько таких кружков. Известно, что:
- 75 % класса —— участники кружка по робототехнике;
- Четверть класса ходит на футбол;
- Каждый седьмой футболист занимается робототехникой;
- Один ученик посещает только кружок рисования.
Сколько человек учится в 7«Ю»?
Задание 4. На круглой арене цирка нарисована «восьмёрка» из двух красных окружностей, показанная на рисунке. Одновременно из точки A с одной и той же скоростью начали бежать обезьянка и белка. Обезьянка двигалась по «восьмёрке» (в том же порядке, что и на рисунке: от A к B, потом к C, затем опять к B, к A и так далее), а белка бежала по границе арены в зелёном колесе, радиус которого в 4 раза меньше радиуса арены.В какой точке окажется обезьянка в тот момент, когда белка окажется во второй раз в точке C:
Задание 5. Соня записала трёхзначное число, в котором все цифры идут в порядке возрастания. Лёня переписал к себе в тетрадь все числа, которые можно получить из числа Сони перестановкой цифр, и сложил их (включая число Сони). У Лёни получилось число 5106. Найдите число Сони.
Задание 6. Из девяти прямоугольников с целочисленными сторонами сложили прямоугольник периметра 120, как показано на рисунке. Оказалось, что сумма площадей всех голубых прямоугольников равна 91. Найдите периметр зелёного прямоугольника.
Задание 7. В классе учится 10 мальчиков, и каждый из них имеет по 11 друзей. У каждой девочки не более трёх друзей в классе. Какое наименьшее количество девочек может учиться в этом классе?
Задание 8. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. По кругу стоят 2525 островитян, каждую секунду все они одновременно говорят одному из своих соседей «Ты рыцарь!» или «Ты лжец!», после чего на доске записывается количество фраз «Ты лжец!». Спустя 2524 секунды оказалось, что на доске записаны все числа от 1 до 2524. Какое наименьшее количество рыцарей может быть в кругу?
Олимпиада по математике 8 класс ответы и задания
Задание 1. Андрей выписал на листочек натуральные числа от 1 до 20. Гриша стёр все написанные чётные числа, а Максим стёр из оставшихся все числа, дающие остаток 3 при делении на 7. Сколько чисел осталось на доске?
Задание 2. Хамелеоны в волшебном лесу умеют перекрашиваться либо в зелёный, либо в красный цвет. Известно, что зелёные хамелеоны всегда врут красным хамелеонам, а красные —— зелёным. В остальных случаях они говорят правду. Однажды на полянке встретились три хамелеона: Усик, Дусик и Мусик. Мусик сказал Дусику: «Если я буду такого же цвета, как ты сейчас, то красных на поляне будет больше, чем зелёных!» —— и перекрасился в другой цвет. Какого цвета Мусик сейчас? Обязательно красный Обязательно зелёный Невозможно определить
Задание 3. Прямоугольник с периметром 2500 двумя перпендикулярными разрезами разделили на четыре прямоугольника. Периметры двух из них равны 1496 и 1504. Чему равно произведение периметров двух других прямоугольников?
Задание 4. На стороне BC параллелограмма ABCD как на диагонали построен квадрат BECK. Оказалось, что точка E попала на сторону AD и что AE=EB.
Чему равен угол ECD? Ответ выразите в градусах.
Задание 5. Пупсень выложил ягоды на столе в форме квадрата, а Вупсень съел ягоды в форме меньшего квадрата внутри квадрата Пупсеня. У Пупсеня осталось 43 ягоды. Ягоды выкладываются и съедаются в форме квадратов, как на рисунке (не обязательно с такой же стороной). Сколько ягод было у Пупсеня изначально?
Задание 6. Володя строит дом в компьютерной игре на фундаменте 3×3. Постройка любого этажа внутри одной клетки стоит одинаково, но в разных клетках может отличаться. Володя успел построить пирамидку (в центральной клетке 3 этажа, в угловых —— по 1 этажу, в 4 крайних неугловых клетках —— по 2 этажа), заплатив 199 галлеонов.
Сколько галлеонов стоит построить этаж в центральной клетке, если известно, что за постройку любого квадрата 2×2 высотой в 1 этаж надо заплатить 60 галлеонов?
Задание 7. 11 футболистов играют в игру: один футболист становится вратарём, другой бьёт ему пенальти. Если игрок забил пенальти, то ему начисляется 7 очков. Если вратарь отбил пенальти, то ему начисляется 9 очков, а с футболиста, не забившего пенальти, снимается 2 очка. Так делается на протяжении нескольких ударов, причём все футболисты могут становиться вратарями и игроками, бьющими пенальти, в любой момент. Изначально у каждого футболиста по 10 очков. После 100 ударов оказалось, что у десяти игроков по 11 очков. Сколько очков у одиннадцатого футболиста?
Задание 8. Арина и Белла зашли в канцелярский магазин. Арина купила 4 ручки и 1 карандаш, заплатив более 50 рублей. Белла купила 6 ручек и 3 карандаша, заплатив менее 90 рублей. Какое максимальное количество рублей могут стоить 1 ручка и 1 карандаш вместе, если известно, что и ручка, и карандаш стоят натуральное число рублей? Ответ выразите в рублях.
Олимпиада по математике 9 класс ответы и задания
Задание 1. Многочлен Ax2+Bx+C имеет корни 6 и −1. Какие корни имеет многочлен −Ax2+Bx−C?
Задание 2. Пусть f(x)=1/ (1-х). Вычислите значение следующего выражения при x=2.
Задание 3. Вершину треугольника соединили отрезками со 150 различными точками, взятыми на противолежащей стороне. Сколько новых треугольников образовалось в итоге?
Задание 4. Андрей, Борис и Вадим живут в одном доме и работают тренерами в одном и том же спортзале. В 09:00 Борис идёт из дома в спортзал, Андрей —— из спортзала домой, они одновременно проходят мимо автобусной остановки. В 15:00 Вадим идёт в спортзал, Борис —— из спортзала, и они также одновременно проходят мимо той же остановки по пути. В 21:00 Андрей идёт в спортзал, Вадим —— по пути из спортзала, и в 22:00 они встречаются по пути. Скорости всех тренеров постоянны. С какой скоростью идёт Андрей, если расстояние между спортзалом и домом тренеров составляет 25 км, скорость Бориса —— 12 км/ч, а Вадим —— самый медленный из них? Ответ выразите в км/ч.
Задание 5. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Пусть M —— середина AC. Пусть точка X такая, что BMX —— равносторонний треугольник, и X лежит в той же полуплоскости относительно прямой BM, что и точка A. Обозначим точкой Y пересечение AX и BC. Найдите угол AYB, ответ выразите в градусах.
Задание 6. В классе учится 23 ученика. Одиннадцать ребят называют себя экстравертами и имеют по 14 друзей в классе. Одиннадцать ребят называют себя интровертами, и каждый из них дружит с 3 одноклассниками. Лёша пока не определился, кто он, экстраверт или интроверт, потому что у него больше трёх и менее 14 друзей. Найдите возможное количество друзей у Лёши.
Задание 7. На рисунке изображены два квадрата и два одинаковых равнобедренных треугольника. Известно, что площадь квадрата равна 5. Найдите площадь красного треугольника.
Задание 8. Чему равно минимальное значение выражения, если одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам —— разные цифры?
Олимпиада по математике 10 класс ответы и задания
Задание 1. Многочлен Ax2+Bx+C имеет корни 2 и −16. Какие корни имеет многочлен
Задание 2. На доску выписаны 9 последовательных натуральных чисел. Известно, что сумма всех этих чисел в 8 раз больше, чем наибольшее из выписанных чисел. Найдите наименьшее из чисел на доске.
Задание 3. На рисунке показан зал в форме многоугольника, все углы которого прямые. По всему периметру зала идёт коридор постоянной ширины 6 метров. Известно, что периметр зала равен 1225 метрам (отмечен на картинке зелёным).Найдите длину внешней стены коридора (отмечена на картинке красным). Ответ выразите в метрах.
Задание 4. Однажды все дети одной семьи —— только родные братья и сёстры —— собрались вместе. Каждый ребёнок сделал одно из двух заявлений: «У меня в 8 раз больше братьев, чем сестёр» или «У меня в 9 раз больше братьев, чем сестёр». Какое количество детей может быть в этой семье, если все дети сказали правду?
Задание 5. Дан клетчатый прямоугольник 5×7, на котором отмечены некоторые клетки. Известно, что любой трёхклеточный уголок на этой доске покрывает хотя бы 2 отмеченные клетки. Какое наименьшее количество клеток может быть отмечено?
Задание 6. Введём новую операцию «зачёркивание» —— удаление из числа любой одной цифры так, чтобы оставшиеся в числе цифры соединились, образовав новое число, не начинающееся с 0. Например, из числа 1023 одной такой операцией можно получить числа 123, 103 и 102.Никита применил не более двух операций зачёркивания к числу 743454765 и получил в результате число, делящееся на 36. Сколько различных чисел мог получить Никита?
Задание 7. Окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке X. Прямая NX —— общая касательная окружностей w1 и w2. Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Найдите отношение длин отрезков YZ:NX.
Задание 8. Столяр Кирилл может от любого деревянного многогранника отпилить тетраэдр (треугольную пирамидку) любым плоским сечением (на рисунке некоторые из возможных примеров). Кирилл взял деревянный куб и последовательно отпилил от него 3 тетраэдра. Сколько граней могло получиться у фигуры, оставшейся от куба? Укажите все возможные варианты.
Олимпиада по математике 11 класс ответы и задания
Задание 1. Шесть действительных чисел образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма первого, пятого и шестого членов в 4 раза больше, чем среднее арифметическое первого, третьего и пятого членов. Во сколько раз сумма второго и третьего членов прогрессии больше первого члена прогрессии?
Задание 2. Стеклянный полый правильный тетраэдр, стоящий гранью на столе, наполнили водой до 2/3 высоты. После этого всю воду перелили в маленькие полые одинаковые правильные тетраэдры, ребро каждого из которых в 3 раза меньше ребра исходного тетраэдра. Сколько маленьких тетраэдров потребуется?
Задание 3. В одной стране живут мальчиши и плохиши. Известно, что плохиши всегда врут, а мальчиши всегда говорят правду. Однажды собрались в хоровод на площади 10 жителей этой страны, и каждый сделал заявление: «Ровно у одного из двух моих соседей есть сосед‑плохиш!». Сколько в хороводе может быть плохишей? Укажите все возможные варианты.
Задание 4. Рассмотрим стозначное число вида: 333…336 (в числе 99 троек и одна шестёрка в разряде единиц). Сколько чётных цифр в десятичной записи квадрата этого числа?
Задание 5. Через середину M стороны CD прямоугольника ABCD проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке K, а луч BC —— в точке L. Известно, что KM=20, а MD=12.
Также проведена окружность w1 радиусом 30 с центром в точке K и окружность w2 радиусом 50 с центром в точке L. Оказалось, что одна из точек пересечения w1 и w2 лежит на луче AB.Найдите расстояние от точки B до общей точки окружностей w1, w2 и луча AB.
Задание 6.Между сёлами Гаврилово и Пугальцево есть дорога, длина которой выражается целым числом километров. По дороге через каждый километр стоит километровый столб, с одной стороны которого указано расстояние в километрах до Гаврилово, а с другой стороны —— расстояние до Пугальцево. В самих деревнях километровые столбы не стоят, то есть нет столба с числом 0. Известно, что для записи чисел на каждом километровом столбце всего было использовано ровно 4 цифры, возможно, не все разные.Чему может быть равно расстояние от Гаврилово до Пугальцево? Ответ выразите в километрах.
Задание 7. В стране 19 городов, некоторые пары из которых соединены прямыми дорогами. Между любыми двумя городами проходит не более одной дороги. Известно, что для любых двух городов A и B, соединённых дорогой, найдётся такой город C, что ни A, ни B не соединены прямой дорогой с C. Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране?
Задание 8. В ряд стоит 12 детей. При каких k от 2 до 12 заявление: «Если среди любых k подряд стоящих детей девочек больше, чем мальчиков, то и всего в ряду девочек больше, чем мальчиков» будет верным?